so ist wegen: 

 auch 



Die lineare homogene Grnppe der Ebene. 



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Aus T=TT^ folgt aber l = TT^T-\ daher T^-^ J--^ = T^-^ 

 = (TT(,)~^, sodass sich ergiebt: 



Hierin kann Tq mit allen vorkommenden Transformationen in der 

 Reihenfolge vertauscht, also an die zweite Stelle gesetzt werden. Da 

 aber Tq~^ Tq = 1 ist, so bleibt dann nur übrig: 



in Worten: Auch T führt die Gruppe der S in die der U über. T aber 

 ist eine Transformation der speciellen Gruppe. 



Mithin: 



Satz 10 : Sind zwei Untergruppen der speciellen linearen homo- 

 genen Gruppe der Ebene mit einander gleichberechtigt innerhalb der all- 

 gemeinen linearen homogenen Gruppe, so sind sie auch mit einander 

 gleichberechtigt innerhalb der speciellen Gruppe. 



Demnach ergeben sich alle Typen von Untergruppen der speciellen 

 Gruppe, indem man die Typen von Untergruppen der allgemeinen aus- 

 wählt, die zugleich der speciellen Gruppe ganz angehören. Hierher 



gehören die Typen 2), 6) für c = r-, 9), 10) für c = — des 



Theorems 16. Wir sagen daher: 



Theorem 17: Jede continuierliche lineare homogene Gruppe Typen der 

 in zwei Veränderlichen x, y mit paarweis inversen Transforma-s'^^^w^^Aat 



speciellen 



tionen , deren sämtliche Transformationen die Determinante im. hom. 



TT» • 71. 7"j '77 7 i n-1 • • Gruppe. 



±jins haben, tasst sich durch Ausfuhrung einer geeigneten 

 linearen homogenen Transformation, die ebenfalls die Deter- 

 minante Eins hat, auf einen der folgenden Typen zurück- 

 führen : 



xq xp — yq yp 



xp — yq xq 



xq 



xp — yq 



10' 



