148 Kapitel 5, § 4. 



Sie hesteht also entweder aus allen Transformationen mit der 

 Determinante Eins oder aus denen, welche sämtlich ein und 

 denselben Strahl durch den Anfangspunkt, oder aus denen, deren 

 jede nur diesen einen Strahl, oder endlich aus denen, welche 

 sämtlich dieselben zwei Strahlen durch den Anfangspunkt in 

 sich transformieren. 



Beziehung Zwischeu der specielleu linearen homogenen Gruppe der (ocy)- 



zur proj. ■■- ■ /~i 1 • r 1 AT • 



Gruppe Ebene und der allgemeinen proiectiven Gruppe der emtachen Mannig- 



(ler ein f. ^ 



faitigke^'t. faltigkeit m = — besteht ein enger Zusammenhang: 



Zu jeder Transformation 



x^== ax -\- by, y^ = ex -^ dy, ad —bc ==\ 



der ersteren ist eine Transformation der Strahlen u 



c -\- du 



U-, = 



a -\- bu 



zugeordnet. Bezeichnen wir die Transformationen der einen Gruppe mit 

 Sa, Sß..., die entsprechenden der anderen mit jT«, Tß. . ., so folgt 

 aus der geometrischen Beziehung, dass mit 



Sa Sß = S{a ß) 



auch 



Ta Tß = T(aß), 



d. h. der der Aufeinanderfolge von 5'« und Sß äquivalenten Transforma- 

 tion S{aß) ist eben die Transformation T(aß) der Strahlen des Büschels 

 zugeordnet, die der Aufeinanderfolge von Ta und Tß äquivalent ist. 

 Eine ähnliche Beziehung haben wir schon oben bei der allgemeinen 

 linearen homogenen Gruppe angedeutet. Während dort aber umgekehrt 

 zu einer vorgelegten Transformation der Strahlen: 



c -\- du 

 ^ a -{- bu 



oo^ Transformationen der allgemeinen linearen Gruppe construiert 

 werden können, welche die Strahlen in der vorgeschriebenen Weise 

 vertauschen, nämlich diese: 



Xi= Q{ax-}-hy), y^^ q{cx -{- dy), 



so ist doch unter diesen nur eine discrete Anzahl von Transformationen 

 vorhanden, die der speciellen Gruppe angehören. Es sind dies die 

 beiden, in denen q gemäss der Bedingung: 



Qa Qb 



QC Qd 



