Abteilung IL 

 Theorie der projectiven (iruppeii in der Ebene. 



Wir beginnen in dieser Abteilung mit der eigentlichen Gruppen- 

 theorie, indem wir zunächst den Begriff einer endlichen continuierlichen 

 Transformationsgrup^e in der Ebene feststellen und darauf einige all- 

 gemeine Sätze über beliebige derartige Gruppen entwickeln. Unter 

 anderem werden wir finden, dass sich die Transformationen einer 

 Gruppe in Scharen anordnen lassen, deren jede eine von einer infini- 

 tesimalen Transformation erzeugte eingliedrige Gruppe darstellt. Darauf 

 wenden wir uns insbesondere zur Betrachtung der projectiven Gruppen 

 der Ebene, die hiernach in lauter eingliedrige projective Gruppen zer- 

 fallen. Wir werden einen sehr wichtigen Satz über die Klammeraus- 

 drüclie der infinitesimalen Transformationen der betreffenden eingliedrigen 

 Gruppen beweisen und schliesslich durch verhältnismässig einfache 

 Rechnungen das wichtige Problem der Bestimmung aller projectiven 

 Gruppen der Ebene erledigen. 



Hierbei bemerken wir vorweg, dass wir uns die vorkommenden 

 allgemeinen Functionen immer als analytische Functionen denken, als 

 Functionen also, die sich in der Umgebung der in Betracht kommen- 

 den Wertsysteme nach dem Taylor'schen Satze in Potenzreihen ent- 

 wickeln lassen. 



Kapitel 6. 



Endliche continuierliche Transformationsgrnppen in der Ebene. 



Indem wir uns vornehmen, in diesem Kapitel den Begriff einer 

 endlichen continuierlichen Transformationsgruppe der Ebene allgemein 

 zu entwickeln, bemerken wir vorweg, dass die in der ersten Abteilung 

 betrachteten Gruppen von besonderer Beschaffenheit viele Beispiele für 

 die folgenden Theorien liefern. Dennoch werden wir noch öfters neue 

 Beispiele da angeben, wo dies besonders erwünscht erscheinen muss. 



