Schar von Transformationen. 151 



§ 1. Schar von Transformationen. 



Zwei Gleichungen von der Form formaUon. 



(1) Xi=(p{x, y, a^'--ar), Vi = H^, y, cit ■ - ■ ür), 



von denen vorausgesetzt wird, dass sie auch nach x, y auflösbar seien, 

 stellen, wenn in ihnen den Grössen a^- • - Qr bestimmte Zahlen werte 

 «begeben werden, eine bestimmte Transformation dar, die alle Punkte 

 {x, y) der Ebene in neue Punkte (ic,, y^ überführt. Geben wir den 

 Grössen a, • • • ür alle möglichen bestimmten Zahlen werte, so erhalten 



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wir eine Schar von Transformationen mit den Jrarametern % • • a-r. Transfor- 



mationeu. 



Erteilen wir den Parametern a^---ar auf zwei verschiedene Arten p^^^^^t^, 

 bestimmte Zahlenwerte, so sind zwei Möglichkeiten denkbar: Entweder 

 sind dann die beiden zugehörigen Transformationen von einander ver- 

 schieden, oder aber sie stimmen überein, d. h. sie ordnen beide einem 

 beliebigen Punkte ix, y) allgemeiner Lage denselben Punkt {x^, y^) zu. 



Wir wollen einmal den Parametern a^- - ttr gewisse bestimmte, 

 aber allgemein gewählte Werte a^" • • ar^ beilegen, sodass wir die Trans- 

 formation erhalten: 



(2) x^ = cp{x, y, < • • a^), y^ = ^{x, y, «i^ • • «?). 



Wenn wir uns dann fragen, ob es noch andere Wertsysteme der 

 ai-' ttr giebt, für welche die Transformation (1) mit dieser überein- 

 stimmt, so werden wir für a^ • • - ar solche Zahlen zu bestimmen 

 suchen, dass 



cp{x, y, «1 • • ar) = (p(x, y, V ' " ^r), 



t{x, y, a^'- ar) = ^(r», y, < • • «?) 



wird und zwar für alle Werte x, y. Ist dies nicht zu erreichen, so 

 liegt die erste der angegebenen Möglichkeiten vor. Lassen sich aber 

 derartige Werte angeben, so sind wieder zwei Fälle denkbar: Entweder 

 giebt es nur eine discrete (endliche oder unendlich grosse) Anzahl 

 solcher Wertsysteme, oder aber es sind unendlich viele continuierlich 

 auf einander folgende vorhanden. 



Z. B. wenn die Transformationen vorliegen: Beispiele. 



(3) r»! = rr + «1, 2/i = 2/ + «2; 



so geben verschiedene Wertsysteme der a^, a^ auch stets verschiedene 

 Transformationen. Dagegen in der Schar der Transformationen: 



(4) x^ = x-\- a^, y^^yAr a^ 



stimmt die Transformation {a^, a^) mit der Transformation (— «i, %) 

 überein. In der Schar 



