152 Kapitel 6, § 1. 



(5) . Xi=X-j- tga^, ij^=y -\- «2 



stimmt mit der Transformation (a^, «g) jede Transformation (5) über- 

 ein, in der für a^ ein Wert a^ -\- 21c n gesetzt wird, wo h eine ganze 

 Zahl bedeuten soll. Wenn endlich die Schar vorliegt: 



(6) iCi = a; + a^ + «3, y^ = y -^ a.^, 



so stimmt die Transformation (a^, a.2, %) mit jeder Transformation (6) 

 überein, in der statt a^ und a^ die Grössen a^ -\- X, % — X stehen, 

 wie auch die Zahl X gewählt sein mag. In diesem Beispiele können 

 wir, ohne aus der Schar der Transformationen (6) eine, mehrere oder 

 gar unendlich viele auszuschliessen, von vornherein die Constante 

 «3 = annehmen, da sie offenbar zur Allgemeinheit der Schar nichts 

 beiträgt, oder auch wir können a^ -\- a^ anstatt a^ als den einen Para- 

 meter betrachten, wobei sicli dann zeigt, dass die Schar (6) sich 

 eigentlich — wie auch die Schar (4) und (5) — vollkommen mit der 

 Schar (3) deckt. In dem Beispiel (6) ist also einer der drei Para- 

 meter «1, «2, «3 überflüssig. Nicht so in den Scharen (4) und (5). 

 Hier würde eine specielle Annahme von a^ oder % die Anzahl der in 

 den Gleichungen (4) oder (5) enthaltenen Transformationen wesentlich 

 beschränken. Wir sagen daher, dass in den Fällen (3), (4), (.5) die 

 beiden Parameter %, a^ ivesentUch sind, dass dagegen im Fall (6) ein 

 unwesentlicher Parameter auftritt. 



Eine ganz ähnliche Betrachtung können wir bei jeder Schar von 

 Transformationen (1) anstellen. Denken wir uns, es wäre möglich, 

 ihre Parameter a^ • • ar durch weniger, also durch nur r — 1 Para- 

 meter «1 • • Kr—i zu ersetzen, wodurch die Gleichungen (1) in neue 

 übergingen : 



^1 = 9{^, y, ccf ■ «r-i), Vi = 'i>{x, y, a^'- a^_i), 



so müssten sich diese mit den Gleichungen (1) decken; es müsste also 

 möglich sein, für alle Wertsysteme x, y und bei beliebiger bestimmter 

 Wahl von % • • Or solche Constanten a^ ■ • a^—i anzugeben, dass 



g)(x, y, a^- • ttr) = (fix, y, a^- - a,.-^, 



i)(x, y, % • • ür) = t{x, y, CC^' ■ ar-i) 



würde. Zunächst dürften dann diese Gleichungen x und y nur schein- 

 bar enthalten : Sie müssten sich auf Gleichungen zwischen «^ • • a^ und 

 «j • • Kr—i allein reducieren. Da sich ferner zu beliebigem Wertsystem 

 üi • • ttr immer ein Wertsystem cc^ ■ ■ ar-\ angeben lassen müsste, so 

 müssten sie sich dadurch befriedigen lassen, dass man «^ • • ar—i gleich 

 gewissen Functionen von a^^- • ür setzte: 



