Schar von Transformationen. 153 



Dann aber ist es klar, dass, wenn a^ • • «r— i in irgend einer Weise be- 

 stimmt angenommen werden, damit unmöglich auch die r Constanten 

 tti • • a,. sämtlich durch diese Gleichungen bestimmt sind, denn es sind 

 dies ja nur r — 1 Gleichungen. Vielmehr existieren dann unendlich 

 viele eine continuierliche Reihe bildende Wertsysteme a^ • • «r zu einem 

 bestimmten Wertsystem a^^-'U^—i. Mit anderen Worten: unendlich 

 viele eine continuierliche Reihe bildende Wertsysterae a^ • • ür geben 

 dieselbe Transformation (1). 



Wenn umgekehrt je unendlich viele eine continuierliche Schar 

 bildende Wertsysteme a^- • ür dieselbe Transformation (1) ergeben, so 

 werden diese Scharen von Wertsystemen durch gewisse Gleichungen 

 zwischen a^ • • «/. definiert sein und zwar durch höchstens r — 1 von 

 einander unabhängige: 



0), («1 • • ttr) = «1, • • • o?-i(ai • • a,— i) = 0^;— 1, 



welche eine Anzahl Constanteu a^ • • Ur—i enthalten, so zwar, dass sie 

 bei bestimmter Wahl derselben eine Schar von Wertsystemeu «j • • «^ 

 definieren, die sämtlich dieselbe Transformation (1) liefern. Diese 

 Gleichungen werden aber höchstens r — 1 der Constauten a^ ■ • ttr be- 

 bestimmen, etwa «1 • • ür—x, während eine, a^, ganz beliebig bleibt. 

 Das Einsetzen dieser Werte wird die Gleichungen (1) auf eine solche 

 Form 



X^ = 0{X, «/,«!•• CC,— 1, ttr), y^ = ^F{X, IJ, «1 • • «,._i, ür) 



bringen, dass, wie auch ür gewählt sein mag, stets diese Gleichungen 

 dieselbe Transformation darstellen, sie also in Wirklichkeit ar gar nicht 

 enthalten. Damit wird dann erreicht, dass die Schar (1) durch diese 

 neuen Gleichungen mit höchstens r — 1 Parametern «^ • • a^— i dar- 

 gestellt werden kann. Den Parameter ar bezeichnen wir hier als un- uuwesent- 



" lichor 



wesentlich, da es für die Allgemeinheit der Schar (1), für ihren Um- rarametcr. 

 fang, gleichgültig ist, ob er etwa einer bestimmten Zahl gleich gesetzt 

 wird oder willkürlich bleibt. 



Die Zahl der Parameter a^ • ■ ar der Schar (1) lässt sich somit 

 dann und nur dann ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit er- 

 niedrigen, wenn sich alle möglichen Wertsysteme % • • «r in Scharen 

 von je unendlich vielen contiuuierlich aufeinanderfolgenden derart an- 

 ordnen lassen, dass zwei Wertsysteme derselben Schar von Systemen 

 stets die gleiche Transformation (1) ergeben. Ist dies nicht der Fall, so 

 sagen wir, dass alle r Parameter a^--ar ivesentlich sind. Wenn a^-ar 

 wesentlich sind, so giebt es nicht unendlich viele continuierlich auf- 



