154 Kapitel 6, § 1. 



einanderfolgende derartige Wertsysteme. Da es nuu oo'" verschiedene 

 Wertsy steine a^- • ür giebt, so sind dann auch in der Form (1) oo'" 

 verschiedene Transformationen vorhanden. 



Ableitung Wir woUcn nun ein analytisches Criterium entwickeln, mit dessen 



eines 



Criteriums Hülfe wir in jedem gegebenen Falle entscheiden können, ob die r Para- 



für dio ... 



wesent- mctcr wescntlich sind oder nicht. 



liehen Para- 

 meter. Nehmen wir zunächst an, die r Parameter a^ ' • ttr seien nicht 



sämtlich wesentlich. Dann existieren gewisse Functionen «^ • • Ur—m 



von tti ■ ■ ttr derart, dass die Gleichungen (1) durch gewisse andere; 



^1 = 9(.^} y, ß^l • • «/— "0> Vi = ^(^> y, ^1- • O^r-m) 



ersetzbar sind, sodass (p mit cp und ^ mit ^ identisch ist. Dabei ist 

 die Zahl r — m der Functionen cc^ ■ • ay—m höchstens gleich r — 1, also 

 r^l. Nun existiert bekanntlich stets eine lineare partielle Differential- 

 gleichung : 



^f= %i(«i ••«'•) ^ + Z2K ••«'-) ä£ "^ 1" ^'•(^1 '■"'•) ä£ == ^ 



— und, wenn m> 1 ist, sogar unendlich viele — , der irgend welche 

 angenommene Functionen «^ • • «r— « von r Grössen a^ - > ttr genügen. 

 Diese Gleichung wird alsdann auch von jeder Function der Lösungen 

 a^ ■ • cCr—m erfüllt, insbondere also auch von tp und ip oder endlich von 

 q) und ip. 



Wenn umgekehrt cp und ip Lösungen einer solchen partiellen 

 Differentialgleichung Af == sind, so sind sie Functionen gewisser 

 r — 1 von einander unabhängiger Lösungen ß^^(ai- -ar)-' • ßr—i(cii-'Ctr) 

 derselben. Sie können also dann auf die Form 



<p = <p^{x, y, ßi" ßr-l), t ^ ^l(^; y, ßl-- ßr~l) 



gebracht werden, d. h. in (1) können die r Parameter a^- • ar durch 

 nur r — 1, nämlich ßj^ ' • ßr—i^ ersetzt werden: Es sind dann nicht 

 alle Parameter wesentlich. 



Wir haben damit bewiesen: 



Criterium. Satz 1 : Die nach x, y außösbaren Gleichungen 



^1 = 9'(^; 2/j «1 • • «r), 2/i = ^l^ix, y, a^- ■ a,.) 



stellen dann und nur dann oo** verschiedene Transformationen dar, d. h. 

 ihre r Parameter a^- - ar sind dann und nur dann sämtlich wesentlich, 

 wenn es unmöglich ist, r nicht sämtlich verschwindende von x, y freie 

 Functionen Xi ' ' Xr ^^^ ^i ■ ' ^r so zu bestimmen, dass identisch 



