Schar von Transformationen. 155 



dilf , .dtp f. 



wird. 



Zu diesem Criterium können wir auch durch folgende Überlegung ^tieUung 

 gelangen : Wenn die r Parameter a^ • . «r nicht sämtlich wesentlich «lerseibeu. 

 sind, so giebt es zu jedem Parametersystem a^ • • ttr unendlich viele 

 andere, welche dieselbe Transformation (1) liefern. Da diese Para- 

 metersysteme eine continuierliche Schar bilden, so muss folglich wenig- 

 stens ein dem System a^ • • a,. beliebig nahe benachbartes Wertsystem 

 ß _|_£^^ . . a, -\- £r existieren, welches dieselbe Transformation (1) 

 liefert, sodass also : 



(p{x, y, üi- ■ ttr) = (p(x, y, «1 + fi, ••«/- + «'■); 



11}{X, y, a^' ■ ttr) = ^{X, y, n^-\- E„ • • ttr + s,) 



wird. Hier können wir rechts die Taylor'sche Entwickelung nach 

 E • ■ Er ausführen, die bei hinreichend wenig von Null verschiedenen 

 Werten der e convergieren, sodass sich ergiebt: 



^ = 2^ daV^ ^' + 2 ^ ^ dai dak ^' ^' ^ ' 



1 1 



^=2^ da:i '^^ 2 ZJ Zj dai da, '' '' ^ ' 



1 1 



Wir dividieren beide Entwickelungen durch eines der e, etwa Ei- 

 Lassen wir dann das Wertsystem {a + e) in einer gewissen Weise 

 gegen das Wertsystem (a) convergieren, so convergieren die Quotienten 



— gegen gewisse Functionen von «^ • • «r und die Glieder der Reihe 



von den Doppelsummen an gegen Null, sodass sich also ergiebt: 



= ^ 



7 dcpjx, y, a,- ■ ar) , n 



dai 



= 2 



1 



Idrpix, y, a,' • ar) / x 



d. h. (p und ^ erfüllen eine gewisse lineare partielle Differential- 

 gleichung 



