156 Kapitel 6, § l. . 



Wenn umgekehrt die Functionen (p und ^ eine solclie Differential- 

 gleichung erfüllen, so schliessen wir rückwärts, dass das Wertsystem 



dieselbe Transformation wie das Wertsysteni a^--ar liefert, dabei unter 

 dt eine gegen Null convergierende Grösse verstanden. Zu jedem Wert- 

 system (a) existiert also dann ein unendlich benachbartes, das dieselbe 

 Transformation liefert. Zu diesem ist wieder ein gewisses Wertsystem 

 mit derselben Transformation unendlich benachbart u. s. w., sodass 

 sich so aus jedem Wertsystem a^ ■ ■ Ur eine continuierliche Schar von 

 Wertsystemen ergiebt, denen dieselbe Transformation (1) zugehört, 

 ^lnn"er^^^^ ^^^ ^^^° ^^^' begriffliche Sinn unseres Criteriums. Allerdings ist 

 critoriums. die socbeu entwickelte Umkehrung nicht ganz streng formuliert, sie 

 sollte aber auch nur diese begriffliche Deutung klarmachen. 



'dung^dos'" ^"^ Ämvendnng des Criteriums unseres Satzes wird man bei einer 



^'"''""""•vorgelegten Schar (1) so verfahren: Man bestimmt zunächst die Func- 

 tionen Xi ' • Xr in irgend einer Weise so, dass cp und ij; jene lineare 

 partielle Differentialgleichung erfüllen. Alsdann berechnet man r—1 

 von einander unabhängige Lösungen a^ • • cor-i dieser Gleichung und 

 führt vermöge der Gleichungen 



<ölK • • «r) = «1, • • • «/— 1 («1 ' • ttr) = CCr-l 



an Stelle von r—1 der Parameter a^ ■ • ar die Parameter a^ • • ccr-i in | 

 (1) ein. Dadurch muss von selbst der noch übrige r'^ der Parameter 

 «1 • • «r aus den Transformationsgleichungen herausfallen, sodass die 

 neuen Gleichungen der Transformation nur die r — 1 Parameter 

 cCi-'Kr-i enthalten. Sind auch diese noch nicht sämtlich wesentlich, 

 so kann man dasselbe Verfahren noch einmal anwenden u. s. w. Es 

 ist auch nicht schwer, gleich auf einen Schlag mehr als einen un- 

 wesentlichen Parameter zu entfernen. Doch gehen wir darauf nicht 

 näher ein, da sich in der Praxis meist auch ohne Benutzung der par- 

 tiellen Differentialgleichung Äf= etwa vorhandene überzählige Para- 

 meter als solche sofort herausstellen. Es genügt für die Theorie, das 

 obige Criterium aufgestellt zu haben. 



Für den Fall, dass die Schar nur 2wei Parameter enthält, ist die 

 Entscheidung leicht: Die beiden Parameter sind offenbar dann und 

 nur dann wesentlich, wenn sich die beiden Gleichungen nach ihnen auf- 

 lösen lassen. 



Beispiele. i. Beispiel: Sei die Schar von Transformationen vorgelegt: 



Xi=xcosa — ysina -j- A-{- B, y^ = x sina -{- y cos a -^ C -{- D. 



