Schar von Transformationen. 157 



Sie enthält zunächst die fünf Parameter a, A, B, C, D. Hier sieht 

 mau von vornherein, dass sich A -\- B und G -\- B durch je einen 

 Parameter a, h ersetzen lassen: 



x^= X cos a — ?/ sin a -j- a, y^== xsin a -\- y cos a -\- h. 



Es ist hier ferner augenscheinlich, dass zwei solche Transformationen 

 nur dann übereinstimmen, wenn a und h in beiden dieselben Werte 

 haben, während a in beiden um ein Vielfaches von 2tc variieren kann. 

 Es sind also alle drei Parameter a, a, b wesentlich. Um aber auch 

 das Criterium des Satzes 1 anzuwenden, haben wir zur Bestimmung 

 der X <ii6 Gleichungen aufzustellen: 



Xi {— xsina — y cos a) -{- X2 = ^, 

 Xi(x cos a — y sin a) -]r Xs = ^^ 

 Sie zerfallen, da die x ^o^ ^ und y frei sein sollen, in vier einzelne 

 Forderungen, denen nur von Xi^ X'i^ Xs^^ genügt wird. 



3. Beispiel: Es wird gefragt, ob in der Schar von Transforma- 

 tionen : 



x^ = xa}«^ -f- h^«'' + c, ^1 = xya^s'' 



alle drei Parameter a, h, c wesentlich sind. Hier liefert Satz 1 die 

 Gleichungen zur Bestimmung der x ' 



%,{xa'^'-' lg& + &i««lg& \) + X2 (^«''' lg« l + ^'^""-^ lg«) + %^ = 0, 



X, (xya's'--" \gh-{-X2 ^ya"^' lg« \)= 0, 

 die aber, da sie für alle x, y bestehen sollen, in diese zerfallen: 



Xx h'«" lg& ^ + X2 ^'^'-' lg« + %3 = 0, 



;t,ai«^-Mg& + ;t2«'«'lg«T==0- 



Die erste siebt; 



= _ 6 lg& 

 X2 fi ]g(i Xi 



Setzen wir diesen Wert in die zweite ein, so kommt 



Xs = 0, 



während die dritte durch diese Substitution erfüllt wird. Somit können 

 wir, da es nur auf die Verhältnisse der x zu einander ankommt, 



Xi = a\ga, X2 ^ — & lg &, Xz = ^ 

 setzen. Dies liefert die lineare partielle Differentialgleichung in a,h,c: 



