158 Kapitel 6, § 2. 



die \ga-\gb und c zu Lösungen hat. Also wird bei Einführung von 



a = Iga • Igh 



und Beibehaltung von c aus den Transformationsgleichungen a und b 

 herausfallen. In der That, es ist 



a = c^^ 



d. h. a}sb = e«, J/g^ = e", und es kommt : 



sc^ = xe" + e" + c. y^ == xye'^. 



Statt a können wir e", statt e" -{- c direct c als Parameter benutzen 

 und erhalten so die bequemere Form : 



x^^ = ax -\- c, y^ = axy. 



Hier sind a, c wesentliche Parameter. 



§ 2. Gruppe von Transformationen. 



Es sei wiederum eine Schar von Transformationen vorgelegt: 



(1) x^ = <p{x, y, a^-- ar), y^ = ^{x, y, a^ -- a,) 



und vorausgesetzt, dass «^ • • «^ sämtlich wesentliche Parameter seien, 

 d. h. dass die Gleichungen (1) wirklich oo'" von einander verschiedene 

 Transformationen darstellen. 



Jetzt soll aber überdies angenommen werden, die Schar (1) be- 

 ^ Groppen-^ sitze die Gruppeneigenschaft: Es soll die Aufeinanderfolge irgend zweier 

 Transformationen dieser Schar stets einer einzigen Transformation der 

 Schar äquivalent sein. 



Bezeichnen wir die zum Wertsystem a^' • ar gehörige Transforma- 

 tion der Schar (1) symbolisch mit Ta, so soll also vorausgesetzt 

 werden, dass, wie auch a^ • • ar, &i • • br gewählt sein mögen, stets ein 

 Wertsystem c^- • Cr existiere derart, dass 



TaT.^T, 



ist. Analytisch drückt sich dies so aus: 

 Analytische Führcu wir zucrst die Transformation Tn aus, so kommt: 



Darstellung. ' 



(7) x^ = (f>{x, y, a^" ar\ y^ = ^{x, y, a^-- ar). 



T,, ferner führt die Punkte {x^, «/i) in neue Punkte {x^, y^) über: 



(8) x.^ = cp{x„ ?/,, &i • . br), y., = ^{x^, f/i, &i • . br). 



