Gruppe von Transformationen, 159 



Die Aufeinanderfolge T„ Tj ist nun derjenigen Transformation äqui- 

 valent, die durch Elimination der Zwischen werte Xi, y^ aus (7) und 

 (8) hervorgeht: 



^2 = ^{<p{^, y, «); ^(^, y, «); h • • M; 



(9) 



12/2 = ^{^{^, y, a), t(x, y, a), \ • ■ hr). 



Hierin ist q)(x, y, a^ • • «,) kurz mit (p{x, y, a), il;{x, y, a^ • ■ a,) kurz 

 mit 7lj(x, y, a) bezeichnet. Dieser Transformation (9) soll nun eine 

 Transformation der Schar (1) äquivalent sein, d. h. es sollen sich 

 solche Werte Cj • • c,- angeben lassen, dass (9) identisch wird mit: 



^2 = ^(pc, y, Ci • • Cr), y.^ = if{x, y, c^- ■ c,), 

 dass also die Gleichungen 



(p{cp{x, y, a), rp(x, y, a), \ • • &,) = (p{x, y, c^-- c,), 



^{(p{x, y, d), ^(x, y, d), b, ■ ■ K) = t(x, y, c^ ■ ■ c.) 



identisch bestehen für alle Werte von x und y. Dabei sind die Con- 

 stanten «1 • • ttr, \- • hr willkürlich wählbar, also die Constanten c^ • -c,. 

 notwendig gewisse Functionen k^{a^ • • a^, 6^ • • hr), - - Kifii-- ar, h^ ■ ■ %) 

 der a und h allein. 



Die Schar (1) stellt somit dann und nur dann eine Gruppe dar, 

 wenn es gewisse Functionen l^{a, h), ■ • lr{a, h) giebt, die frei von 

 X und y sind, derart, dass für alle Werte von x, y, a^ • • a,., h^ • ■ hr, die 

 Identitäten bestehen: 



qqJ^pC^C^; !/, fl^), tix,y,a), h^--hr) = cp{x,y,k,{a,h), • • A,(«, &)), 

 U(9)(ä,-, y, a), i,{x, y, a\ h, ■ • &,) ee ^ {x, y, /l,(a, h), ■ • A,(fl5, h)). 



Alsdann nennen wir die Schar (1), da sie überdies nach Voraus- 

 setzung aus oo'' verschiedenen Transformationen besteht, eine r-gliedrige r-gUedrigo 

 Gruppe von Transformationen. Transform. 



Aber noch einige weitere Voraussetzungen wollen wir hier ein für Sonstige 

 allemal über die Schar (1) machen: Zunächst setzen wir voraus, dass Setzungen. 

 (p und ip solche Functionen von a^ • • ttr seien, dass eine unendlich 

 kleine Änderung der Parameter a^ • • a^ die Transformationen (1) auch 

 nur unendlich wenig ändert, dass also alle oo'" Transformationen, die 

 in (1) enthalten sind, eine continuierliche Schar bilden. Insofern nennen 

 wir dann die Schar eine continuierliche Transformationsgruppe. Die er- continuieri. 

 wähnte Voraussetzung ist insbesondere erfüllt, wenn fp und il) ana- 

 lytische Functionen ihrer Aryumente sind. Wir werden uns in diesem 

 Werke stets auf diesen Fall beschränken, ohne es immer ausdrücklich 



