160 Kapitel 6, § 3. 



hervorzuheben. Dadurch werden fremdartige functionentheoretische 

 Untersuchungen von vornherein abgeschnitten. 

 inverso Ferner werden wir voraussetzen, die Schar (1) enthalte zu jeder 



Traiisforma- ' ^ ' " 



tionen. iJiyßff Transformatiofien auch die inverse. Die zur Transformation (1) 

 inverse Transformation, die man bekanntlich dadurch erhält, dass man 



(I) nach a;, y auflöst und dann, um bei gewohnter Darstellungsweise 

 zu bleiben, x, y mit x^, y^ und umgekehrt x-^^, y^ mit x, y bezeichnet, 

 soll also auch dadurch aus (1) hergestellt werden können, dass man 

 darin a^ • • Or gewisse andere Werte ä^- • är erteilt. Da zu jeder Trans- 

 formation eine inverse zugeordnet ist, so müssen ä^ • «är gewisse Func- 

 tionen der ursprünglichen Parameter a^ ' • ar sein. 



Beispiele hierzu brauchen wir nicht zu geben, da Abteilung I ge- 

 nügend viele enthält. 



Aus der letzten Voraussetzung können wir einen wichtigen Schluss 

 itientischü ziehen: Führen wir nach irgend einer Transformation der Gruppe die 



Trausfor- O i a 



matioii, inverse aus, so ergiebt sich die identische Transformation: 



x^ = X, 2/i ^^ V' 

 Da nun die inverse auch in der Gruppe enthalten und die Aufeinander- 

 folge zweier Transformationen der Gruppe wieder einer Transformation 

 der Gruppe äquivalent ist, so folgt, dass die Gruppe auch die iden- 

 tische Transformation enthält, dass es also solche Werte a^^ • • «r" der 

 Parameter geben muss, für die sich (1) auf die identische Transforma- 

 tion reduciert, sodass für alle Werte von x und y 



(II) (p{x, y, «1° • • «,."; EEE X, ip(x, y, a/ • • a/) = y 



ist. 



Satz 2 : Jede r-gliedrige Transformationsgruppe mit paarweis in- 

 versen Transformationen entMlt die identische Transformation. 



§ 3. Die infinitesimalen Transformationen der Gruppe. 



Wenn wir in den Transformationsgleichungen (1) der Gruppe den 

 Parametern a^ ■ - ttr Werte geben, die unendlich wenig von denjenigen 

 Werten a^^ ■ • aj^ abweichen, welche die identische Transformation liefern, 

 so ergiebt sich — wegen der vorausgesetzten Continuität — eine von 



infiuitesi- der identischen nur unendlich wenig verschiedene, also eine infinitesi- 



Transfer- male IransfoTmotion der Gruppe. 



mation. 



Erato VVir werden also setzen: 



Ableitung. 



^1 "=" ^l" ~f* ^^1 J • • • «r == 0^r° + 8cb, ^ ' 



