Die infinitesimalen Transformationen der Gruppe. 161 



indem da^ • ■ dar gegen Null convergierende Grössen bedeuten sollen. 

 Alsdann giebt die erste Gleichung (1): 



x^ = (fix, y, «1° + ^«u • • «'■" + ^«'•) 

 oder, da die rechte Seite nach dem Taylor'schen Satze nach Potenzen 

 von dtti ' • dür entwickelt werden kann in eine unendliche Reihe, die 

 bei hinreichend kleinen Werten von da^^- • dar convergiert: 



, d (p{x, y, g/ • • tt/)^^ , . 

 H 8^7 "^^'^ ' 



Die nicht geschriebenen Glieder sind von höherer Ordnung hinsicht- 

 lich d«! • ' dttr. Eigentlich ist die Schreibweise 



dcpjx, y, g/- • g/) 

 da,'' 



•sinnlos, da ja a^^ • • a^" ganz bestimmte Zahlen bedeuten. Wir meinen 

 aber damit natürlich den Ausdruck: 



d(p{x, y, a, • ■ or) 



in dem nach ausgeführter Differentiation «^ = a^", • • «,• = «,° gesetzt 

 werden soll. Wegen (11) kann für das erste Glied rechts einfach x 

 gesetzt werden, sodass kommt: 



x^ = x-\ ^.-r (ia,-] 1 g- ö «, -t- . 



(12) 



Analog wird : 



d^{X, y, a«) . , , d^{x, y, cQ ^^ j_ . . 



(12' 



Hierin ist zur Abkürzung (p{x, y, a,^ • • «/) mit g)(Ä;, ?/, aP) bezeichnet. 

 Diese Gleichungen stellen eine infinitesimale Transformation unserer 

 Gruppe dar, denn sie erteilen x, y die unendlich kleinen Zuwüchse: 

 ^ dq){x,y,a'') ^^ . , dtp{x,y, g») ^^ , 



dy = y, — y= — g^^^ — ö«i H r -g„^o ö«, -h . 



Die Incremente dx, dy stellen sich als unendliche Reihen nach 

 ganzen Potenzen von dui- • dür dar. Ist nun keines der r Paare von 

 Differentialquotienten 



für alle Werte von a;, ?/ identisch Null, so kommen wenigstens in einer 



Lie, Continuierliclie (iruppen. 1^ 



