162 Kapitel 6, § 3. 



der Reihen (12') stets unendlich kleine Glieder erster Ordnung in den 

 da vor, wie auch diese infinitesimalen Grössen da gewählt sein mögen. 

 Diesen gegenüber kommen dann die unendlich kleinen Glieder höherer 

 Ordnung nicht in Betracht. 

 j^^'i'^^f"! Nun kann es aber unter Umständen vorkommen, dass unter den 



der Methode- ' 



r Paaren von Di£Perentialquotienten 



d( pix,y ,a'>) ^_(^;>_ y.J»") (i:= i 2 • ' r) 



eines, einige oder auch alle identisch für alle Werte von x, y ver- 

 schwinden. In diesem Falle dürfen die höheren Potenzen von 8ai etwa 

 nicht vernachlässigt werden, da die erste gar nicht in (12') auftritt 

 Wir werden dann, wenn in (12') die Zahl düi etwa erst in der 7^**" 

 Potenz wirklich auftritt, anstatt dai diese Potenz ö'a/ als infinitesi- 

 male Zahl benutzen. Dann aber ist es von vornherein noch keines- 

 wegs sicher, ob auch die Entwickelungen (12') nur nach ganzen 

 Potenzen derselben fortschreiten, denn es könnte ja z. ß. auch da/ + ^ 

 mit nicht verschwindendem Coefficienten behaftet sein. 



Zweite Um diesen Übelstand zu vermeiden, sowie um die Frage zu ent- 



der infinit, scheidcn, wie viele infinitesimale Transformationen die Gruppe enthält, 



Transform. ., , ...,., ,,. ■, ■, . . 



insbesondere wie sie mit einander zusammenhangen, schlagen wir ein 

 neues Verfahren ein: 



Irgend eine infinitesimale Transformation der Gruppe wird die 

 Punkte p{x, y) der Ebene in neue Punkte p {x, y) derselben über- 

 führen, die den Punkten p unendlich benachbart sind. Wir können 

 den Übergang zu den p' auch so bewerkstelligen: Zunächst führen 

 wir irgend eine Transformation der Gruppe aus, etwa die zu den Para- 

 metern E^- ' • Br gehörige Tg. Dieselbe geleitet die Punkte p in neue 

 Lagen Pi{x^, y^). (Fig. 24.) Nun existiert eine Transformation S der 



Gruppe, welche die Punkte p^ in die Lagen 

 p' überführt, denn diese Transformation ist 

 äquivalent der Aufeinanderfolge der zu Te in- 

 versen Transformation T,- , welche die p^ in 

 die p verwandelt, und der infinitesimalen, 

 welche die p an die Stellen p' führt. Diese 

 Transformation S ist also unendlich wenig 

 verschieden von der zu T, inversen IV, deren 

 Parameter e^ • ■ Sr gewisse Functionen von 

 £i • • £,. sind. Ihre Parameter weichen daher 

 unendlich wenig von s, ■ •£>• ab, haben also 



Fig. 24. & 1 > > 



etwa die Werte: 



