Die infinitesimalen Transformationen der Gruppe. 163 



«1 = Pj + ds^, ••«,- = £,. -{- dSr, 



iu denen ds^ • ■ ds,- infinitesimale Zahlen bedeuten. Wie wir auch 

 ds^ ■ ' ÖEr wählen mögen^ immer ergiebt sich als der Aufeinanderfolge 

 TfS äquivalent eine infinitesimale Transformation der Gruppe. Diese 

 Aufeinanderfolge liefert mithin alle überhaupt in der Gruppe vorhan- 

 denen infinitesimalen Transformationen. 



Wir wollen diese. Überlegung ins Analytische umsetzen: Die^"aiyti3ch 



■ m 1 T /-. Darstelhm 



iranstormation 1, hat die Gleichungen: derselben. 



(13) X, = (p{x, y, s,-- Sr\ yi = i>{x, y, s^ ■ • £.)• 



Die Transformation S, welche die Punkte (aJ^, y^) weiterhin in die 

 Lagen (x, y) überführt, und die auch mit T^+j^ bezeichnet werden 

 könnte, wird dargestellt durch: 



(14) x = <p{x,, y^, e, + de^, • • £, + dsr), 



Die Aufeinanderfolge beider ist nun die gesuchte infinitesimale Trans- 

 formation der {x, ij) in die {x , y). Sie wird berechnet durch Elimi- 

 nation der Zwischenwerte x^^, y^ aus (13) und (14). Diese Elimination 

 liefert : 



x = (pi(p(x, y, e), t{x, y, s), e -f de), 

 y'= tl,{(p{x, y, s), ip{x, y, f), £ + (j£). 



Hierin sind zur Abkürzung die s^ ■ • £r einfach durch s, die t^ + ös^ 

 •'~£r-\- Ssr durch £ -f- ^£ markiert. In dieser Form tritt nicht deut- 

 lich hervor, dass die Gleichungen eine infinitesimale Transformation 

 darstellen. Dies wird aber durch Reihenentwickelung augenscheinlich. 

 Da nämlich dsi-'ÖEr gegen Null convergieren sollen, so dürfen wir 

 die Gleichungen nach Potenzen von df^ • • dsr entwickeln: 

 x'=(p{(p{x, y, e), ^{x, y, s), e) -f 



r 



?/'= ^{cp{x, y, E), ilj(x, y, s), e) 



r 



1 'SIa^ Gjp((p(x,y, s), i\){x,y, s ), s) 

 -j-^^Oet ^_ I . 



Da nun die Transformation Tf zur Transformation T, invers ist, d. h. 

 die Aufeinanderfolge von 



^1 = ffi^, y, «I • . «r), yt = ^{X, y, £,. . Er) 



und 



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