Die infinitesimalen Transformationen der Gruppe. 165 



auch die s oder die £ gewählt sein mögen — die allgemeinen 

 Gleichungen 



frei von a,- sind und die Gruppe folglich gegen die Voraussetzung 

 Aveniger als r-gliedrig ist. 



Demnach dürfen wir annehmen, die s^ . .Ir oder, was auf das- 

 selbe hinauskommt, die £i . . «,- seien in bestimmter Weise als solche 

 Zahlen gewählt, dass in wenigstens einer der Gleichungen (15) stets 

 unendlich kleine Glieder erster Ordnung in den dsi vorkommen, wie 

 auch die dsi gewählt sein mögen. Bezeichnen wir dann die Ausdrücke 

 (Iß) _ da sie als veränderliche Grössen nur noch x, y enthalten — 

 mit li{x, y), r]i{x, y), so folgt: 



Satz 3: Jede infinitesimale Transformation einer r-gliedrigen Gruppe 

 mit paarweis inversen Transformationen lässt sich in der Form schreiben : 



dx 



r ^ 



in der die dsi irgend welche nicht sämtlich verschzvindende , aber gegen 

 Nidl convergierende Zahlen bedeuten und ferner ^i und tii nicht beide iden- 

 tisch Null sind für irgend einen der r Werte von i. 



Hiermit sind die infinitesimalen Transformationen der Gruppe ent- 

 wickelt in Reihen nach ganzen Potenzen unendlich kleiner Grössen und 

 zwar so, dass die unendlich kleinen Glieder erster Ordnung nicht sämt- 

 lich absolut verschwinden. 



Das jetzige Verfahren leistet demnach mehr als das frühere, 

 das zu den infinitesimalen Transformationen (12') führte. In der That 

 ist die frühere Methode nur ein besonderer Fall der jetzigen, die sich 

 ja auf jene reduciert, wenn s^ = a^*^, . . Sr = a,P gesetzt wird. 



Wir können uns die dsi gegeben denken als Potenzreihen einer 

 iretreu Null convergierenden Grösse dt, indem wir etwa setzen: 



S8i = e,dt-\ (i= 1, 2--r). 



Die hier nicht geschriebenen Glieder sollen also von höherer Potenz 

 in dt sein, während die d nunmehr irgend welche endliche Zahlen be- 

 deuten. Nun hat die allgemeinste infinitesimale Transformation der 

 Gruppe die Form : 



8x= yjei^i{x,y)öt-{- ••, dy ^ 2^eit?.(a;, 2/)d^ H . 



Dieselbe erteilt einer beliebigen Function f{x, y) das Increment: 



