Die infinitesimalen Transformationen der Gruppe. 167 



Nach Satz (1) des § 1 wären somit nicht alle r Parameter a^ . . «r der 

 Gruppe wesentlich, was der Voraussetzung zuwiderläuft. 



Mithin erteilt jede infinitesimale Transformation der Gruppe einer 

 nicht gerade speciell gewählten, sondern beliebigen Function f der 

 Veränderlichen x, tj ein Increment: 



in dem das Glied erster Ordnung nicht identisch verschwindet. Diesem 

 nicht verschwindenden Gliede gegenüber können aber die höhereu Po- 

 tenzen von dt vernachlässigt werden, und daher dürfen wir nun all- 

 gemein als infinitesimale Transformation 



r '' 



annehmen, also als ihr Symbol: 



r 



1 

 das sich linear aus üif . . Urf ableiten lässt. 



Wir sind zu diesem Gesamtergebnis gelangt: 



Theorem 18: Jede r-gliedrige continuierliche Gruppe der oos'l^'^l*^- 

 Ehene mit paarweis inversen Transformationen enthält gerade 

 und nur r von einander unabhängige infinitesimale Transfor- 

 mationen und gleichzeitig alle, die sich aus ihnen linear ab- 

 leiten lassen. 



1. Beispiel: Die Gleichungen i^eUvi^i. 



x^ = ax-\-b, y^'=ay-\-c 

 stellen oo^ Transformationen dar, die eine Gruppe bilden, denn hieraus 



und aus 



x^ = a^x^ + b^, 2/2 = «1^1 + Ci 



folgt durch Elimination von x^, y^'. 



x^ = aa^x + {a,b + b^), y, = aa^y + {a^c + O; 

 und dies ist wieder eine Transformation jener Schar. Hier liefert 

 schon die einfache erste Methode alle infinitesimalen Transformationen. 

 Es giebt nämlich die Annahme a= 1, /> = c = die identische, folg- 

 lich die Annahme 



