168 Kapitel 6, § 3. 



a = l + da, h=dh, c = dc 

 die infinitesimale Transformation: 



x^=x -\- x8a -\- 81), y^=y -\- yda + de. 



Da diese Entwicklungen nach 8a, 8h, 8c mit den Gliedern erster 

 Ordnung schon abbrechen, so tritt der Übelstand, den die erste 

 Methode, wie bemerkt, mit sich führen konnte, nicht auf. Wir er- 

 halten als allgemeinste infinitesimale Transformation, wenn 8a = a8t, 

 8h == ß8t, 8c = y8t gesetzt wird, diese: 



{ax + ß)p + {ay + y)q, 

 die linear aus xp + yq, p, q ableitbar ist. 

 2. Beispiel: Die Gleichungen 



Xi = ax -{- h^, y^ = ay -{- c 



stellen offenbar auch die dreigliedrige Gruppe dar, die im vorigen 

 Beispiel betrachtet wurde. Nur steht anstatt des Parameters h der 

 Parameter &l Dieser rein äusserliche Unterschied bewirkt, dass hier 

 die erste Methode Reihen liefert, in denen die Glieder erster Ordnung 

 sämtlich verschwinden können. Da nämlich a==l, h = c = die 

 identische Transformation liefert, so setzen wir 



a = l-\-da, h = 8h, c = 8c 

 und erhalten: 



x^=x-\- x8a + 8¥, ?/, = ^ + yda -f- 8c 

 oder 



8x = x8a + 8¥, 8y = y8a -f 8c. 



Nehmen wir hierin 8a = 8c = an, so verschwinden alle Glieder 

 erster Ordnung. Die Glieder erster Ordnung liefern also nur zwei un- 

 abhängige infinitesimale Transformationen xp -\- yq, q der Gruppe, 

 aber nicht auch p. Da aber die Entwickelungen nach 8a, 8h, 8c 

 auch hier abbrechen, so liefert das unendlich kleine Glied zweiter 

 Ordnung, indem 8h^ durch 8h ersetzt werden kann, doch noch die in- 

 finitesimale Transformation p. •» 

 5. Beispiel: Auch die Gleichungen: 



x^ = ax -\- Yb, y^ = ay -\- c 

 stellen die im ersten Beispiel betrachtete dreigliedrige Gruppe dar. 

 Der rein äusserliche Unterschied besteht darin, dass ]/& für h ge- 

 setzt ist, und bewirkt, dass die erste Methode zur Bestimmung der 

 infinitesimalen Transformationen der Gruppe undurchführbar wird. 

 Setzen wir nämlich 



