Einfuhrung neuer Veränderlicher in eine Gruppe. 171 



i(x + l)e, + e, — x^es)p. 



Sie ist linear ableitbar aus (x + l)p, p und — x^p oder also aus p, 

 xp, x^p. Die Annahme f i = 1 , «2 = £3 = hätte die erste Methode 

 geliefert. 



§ 4. Einführung neuer Veränderlicher in eine Gruppe. 



Es sei wieder eine r-gliedrige Gruppe vorgelegt: 



(19) Xj^ = (p(x, y, «1 . . ar), y^ = tioc, y, a^ . . ar). 



Jede ihrer Transformationen führt die Punkte {x, y) der Ebene in 

 neue Punkte {x^, y^) über. Dabei können wir unter x, y bez. x-^, y^ 

 gewöhnliche rechtwinklige Coordinaten mit Cartesischem Axenkreuz 

 verstehen oder auch irgend welche durch ein anderes Coordinaten- 

 system definierte Variabein. 



Wir wollen nun durch eine Transformation: ^dlnatcn-" 



(20) i = l{x, y), 9 = a{x, y) '^'*'"- 



neue Veränderliche in die Gruppe einführen. Wir können dies so auf- 

 fassen, als ob die Punkte nunmehr statt durch die Coordinaten x, y 

 durch gewisse Coordinaten j, ^ in einem anderen zu Grunde gelegten 

 Coordiuatensystem bestimmt werden sollen, z. B., wenn die Gleichungen 

 (20) diese sind: 



l = Vx' + y\ 9 = arctgf, 



statt' durch die rechtwinkligen x, y durch die Polarcoordinaten j, t). 

 Der Punkt {x, y) ist in dieser Auffassung identisch mit dem Punkte 

 (j, l)). Entsprechend werden wir auch die transformierten Punkte 

 (rCi, y-^ auf das neue Coordiuatensystem beziehen, indem wir analog 



(20) setzen : 



(20') ji = l{x„ y,), ^1 = ii{x^, y,). 



Wenn wir vermöge (20) und (20') die Veränderlichen j, l); J^, t)i an- 

 statt X, y] Xi, yi in die Gleichungen (19) der Gruppe einführen, so 

 erhalten wir gewisse Gleichungen, deren Auflösung nach j^, tj^ etwa 

 ergiebt : 



(21) ji = 0(1, \), a,.. ür), ^1 = ^(J, 9, «1 . . ar). 



Dass sie nach Jj, ^1 — wie auch j, ^ — auflösbar sind, ist sofort 

 einzusehen, da (19) und (20) nach x, y auflösbar sind. Diese neuen 

 j Gleichungen (21) stellen dann nichts anderes dar als die Transforma- 

 tion (19), nur freilich ausgedrückt in einem anderen Coordinaten- 

 system, was natürlich an dem geometrischen Sinn der Transformation 



