1 12 Kapitel 6, § 4. 



nichts ändern kann. Da nun die oo*- durch (19) dargestellten Trans- 

 formationen eine Gruppe bilden , also die Aufeinanderfolge zweier jener 

 Transformationen durch eine jener Transformationen ersetzt werden 

 kann, und da diese Eigenschaft einen rein geometrischen Sinn hat, 

 so müssen unsere oo'' Transformationen auch in der neuen Form (21) 

 die Gruppeneigenschaft haben. 



Die neuen Gleichungen (21) stellen also ebenfalls eine r-gliedrige 

 Gruppe dar. Aus unserer Überlegung folgt somit das analytisch zwar 

 auch ableitbare, aber doch nicht so evidente Ergebnis, dass, wenn 

 man (21) und 



(21') i, = 0(1^, 9i, &i • • M, 9. = 'y(h, t)i, h • • M 



ansetzt und hieraus j^, t)i eliminiert, die hervorgehenden Gleichungen 

 die Form haben müssen : 



h = ^{l, ^), /li(«, h) . . A,(a, h)), t)2 = ^ih t), ^i(«, &) . . h{a, h)). 



Satz 4: Führt man in eine r-gliedrige Gruppe 



x, = cp(x, y, a^.,ar), y^ = i^ix, ij, a, . . ür) 



neue VeränderUcJte g, t) und g^, t)i ein, indem man gleichzeitig 



l = K^, y), 9 = ii{x, y) 

 und 



h =^(-^n I/i), ^i = i^{x„ y,) 

 setzt, so stellen die so erhaltenen neuen Gleichungen 



h = ^(E, t), a, . . a,), l), = 5r(£, \), a,.. a,) 

 wieder eine r-gliedrige Gruppe dar. 



Neue Ver 

 änderlicbe 



Transform 

 einer 



Nachdem wir dies eingesehen haben, steht es uns nun frei, die 

 .cJben'^o-or-^^^^^^^^^ge" (^0) und (20') iu anderer Weise aufzufassen. Wir können 

 li^tcm." ^^^ vorstellen, j, t) und j^, t)^ seien Coordinaten in demselben System 

 wie X, y und x^, tj^. Alsdann sind nicht mehr wie früher {x, y) und 

 (j, t)) identische Punkte, ausgedrückt in verschiedenen Coordinaten- 

 systemen, sondern verschiedene Punkte, ausgedrückt in demselben 

 System. Mit anderen Worten: Wir fassen (20) als die Gleichungen 

 Gruppe, einer Transformation S auf, welche die Punkte {x, y) in neue Lagen 

 (£, t)), also die Punkte {x^, y^ in neue Lagen (y^, tij überführt. In 

 dieser Auffassung stellen die Gleichungen (21) diejenigen Transforma- 

 tionen Ja, Ti . . dar, welche aus den Transformationen Ta, T^ . . . der 

 Gruppe (19) hervorgehen, wenn man sowohl die ursprünglichen als 

 auch die transformierten Punkte (x, y) und (rc, , y^) der Transformation 

 S unterwirft. Es ist also, wie wir es schon in Satz 5, § 2 des 3. Kap. 

 gelegentlich ausgesprochen haben, allgemein 



