Einführung neuer Veränderlicher in eine Gruppe. 173 



Dass Ja, also die Transformationen (21), wirklich eine Gruppe bilden, 

 ist zwar schon bewiesen, kann aber auch so eingesehen werden: Ist: 



-^a -^b -^C) 



SO ist, weil 

 ist: 



Dies aber ist der symbolische Ausdruck der Gruppeneigenschaft. 



Jeder Transformation Ta der ursprünglichen Gruppe (19) entspricht 

 also eine ganz bestimmte Transformation 



der neuen Gruppe (21) derart, dass mit 

 auch 



•a Tft = Tg 



ist. T„ und T^ sind nur dann identisch, wenn 



d. h. wie durch Ausführung von S beiderseits links und Ausführung 

 von S~^ beiderseits rechts folgt, wenn 



-ta == -l-b 



ist. Unter den T sind also genau so viele verschiedene enthalten wie 

 unter den T. Die neue Gruppe (21) ist demnach auch r-gliedrig. Ist 

 Ti zu Ta invers, so ist offenbar auch Tj zu T« invers, und aus T„ = 1 

 folgt Ta = 1-, d. h. diejenigen Werte a^ . . a,P der Parameter a^ . . a^, 

 für welche die Gleichungen (19) die identische Transformation dar- 

 stellen, geben auch bei der Gruppe (21) die identische Transformation. 

 Satz 5 : Führt man auf eine r-gliedrige Gruppe 2'„, T,, . . . mit 

 paarweis inversen Transformationen eine Transformation S aus, so erhält 

 man wieder eine r-gliedrige Gruppe T«, T^ . . . mit paarweis inversen 

 Transformationen. Es ist allgemein 



Wenn ferner TaT,,= Tc ist, so ist auch TaTi, = T,. Die identische 

 Transformation der neuen Gruppe gehört m demselben Wertsystem der 

 Parameter der Gruppe wie in der ursprünglichen Gruppe. 



Zwei solche Gruppen Ta, To . . und T«, T^ . . ., deren eine aus der Aimiicho 



J m Gruppen. 



•anderen durch Ausführung einer Transformation S hervorgeht, nennen 



