1 74 Kapitel 6, § 4. 



wir einander ähnlich. Unserer ersten Auffassung nach können zwei 

 ähnliche Gruppen auch als geometrisch einander gleich, wenn auch 

 analytisch verschieden eingekleidet, betrachtet werden. Wir sprachen 

 früher öfters von gleichberechtigten Untergruppen gewisser projectiver 

 Gruppen, z. B. von denen der linearen homogenen Gruppe (in § 4 des 

 5. Kap.). Es ist klar, dass diese innerhalb der linearen homogenen 

 Gruppe gleichberechtigten Untergruppen mit einander ähnlich sind und 

 zwar vermöge einer linearen homogenen Transformation S. 

 ^'^'riner""' Wählt man als Transformation S eine Transformation der Gruppe 



*^"siTh '" -^"' To . . . selbst, so geht diese Gruppe in sich über, denn ist z. B. 



S = Ta, 



SO ist 



Die rechte Seite ist aber die Aufeinanderfolge von drei Transforma- 

 tionen der ursprünglichen Gruppe, also einer Transformation dieser 

 Gruppe äquivalent. T^, gehört daher dann der alten Gruppe au. Ins- 

 besondere ist dann auch T« == T„. 



Satz 6 : Führt man auf eine r-gliedrige Gruppe Ta, Ti, . . . mit 

 paarweis inversen Transformationen eine Transfortnation T der Gruppe 

 aus, so geht die Gruppe in sich über, indem T ihre Transformationen 

 unter einander vertauscht. 



Es kann aber auch, wenn S keine Transformation der Gruppe 

 Ta, Tb . . . ist, der Fall eintreten, dass die neue Gruppe T«, T^ . . . mit 

 der ursprünglichen Gruppe identisch ist. Hierfür ein Beispiel : 

 Beispiel. Beispiel: Die Gleichungen: 



stellen die zweigliedrige Gruppe der Translationen dar. Wir wollen auf 

 dieselbe die Rotation: 



l = X cos a — «/ sin a, \) = x sin a -{- y cos a 



ausüben, setzen also noch 



gl = Xi cos a — 2/^ sin a, t)^ = Xj^ sin a + 2/i cos a. 



Elimination von x, y und x^, y^ giebt: 



li = (S cos a + ^ sin a -f~ «) cos a — ( — g sin a -|- 9 cos cc -{-h) sin a, 

 ^1 = (£ cos a -\- \) sin a -\- a) sin a -\- ( — j sin a -f- ^ cos a -\- h) cos «, 

 oder : 



Ji = £ + a cos a — b sin a, ^^ = t) -f- a sin a -f- ^ cos a. 

 Diese neue Gruppe ist in den rechtwinkligen Coordinaten g, \) wieder 

 die Gruppe aller Translationen. Man kann nämlich die hierin auftreten' 



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