Die von den inf. Transf. der Gruppe erzeugten eingliedrigen Untergruppen. 177 



LJX'^ni yA -\- n ^ - = m cos a — n siu a, 



'^ c X ' oy ' 



(./ü = iti -^ - -+- n ~ = m Bva. a -\- n cos a, 



' ex ' cy ' 



daher das neue Symbol : 



U/"^ (m cos a — n sin a) p -{- (m sin a -\- n cos a)q. 



Die Coefficienten von p und q hierin sind Constanten, llf ist daher 

 wieder, wie es nach den früher zu diesem Beispiel gemachten Be- 

 merkungen sein muss, eine infinitesimale Translation in j, t). 



Kapitel 7. 



Erzeugung einer Gruppe aus ihren infinitesimalen Transformationen. 



Im vorigen Kapitel haben wir nachgewiessen, dass jede Gruppe 

 mit paarweis inversen Transformationen gewisse infinitesimale Trans- 

 formationen besitzt. Nunmehr werden wir umgekehrt erkennen, wie 

 man ausgehend von den infinitesimalen Transformationen der Gruppe 

 wieder zu den endlichen Gleichungen der Gruppe gelaugt. 



§ 1. Die von den infinitesimalen Transformationen der Gruppe 

 erzeugten eingliedrigen Untergruppen. 



Wir wissen, dass sich das Symbol der allgemeinsten infinitesi- 

 malen Transformation Uf einer r-gliedrigen Gruppe mit paarweis in- 

 verseu Transformationen : 



(1) x^ = (p(x, 1), a^. . ttr), iji = if{x, y, a^.. a,) 



linear aus gewissen r von einander unabhängigen Symbolen 



C/;/= i,i{x, y)p + 7]i(x, y)q (i = 1, 2 . . r) 



ableiten lässt: 



üf= e, UJ+ e,U,f +'■•-{- erUrf. 



Die Grössen 6^,6^.. Cr sind hierin ganz beliebig wählbare Constanten. 

 Da es bei einer infinitesimalen Transformation Uf auf einen constanten 

 Factor nicht ankommt, so sind nur die Verhältnisse von e^, e^ . . Cr zu 

 einander von Belang. Die Gruppe enthält daher oo''~^ verschiedene 

 infinitesimale Transformationen. Jede derselben erzeugt eine eingliedrige 

 Gruppe von endlichen Transformationen, und.es erhebt sich nun die 



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