178 Kapitel 7, § 1. 



Frage, ob alle diese endlichen Transformationen der r-gliedrigen Gruppe 



(1) angehören oder nicht. 



xachweis, Um dies zu entscheiden, sei vorausgesetzt, dass 



erzeugt. . 



irgend eine infinitesimale Transformation der r-gliedrigen Gruppe ist. 

 Wir wählen alsdann eine Function J von x, y so, dass identisch 



wird, d. h. wir wählen j als Integral der Difi'erentialgleichung ersten 



Grades 



dx dy 



zwischen x und y. Darauf nehmen wir ^ so als Function von x, y 

 an, dass identisch 



wird. Es giebt stets, wie man leicht einsieht, eine solche Function 



t), und zwar ist sie von der Function 5 unabhängig. 



Neue Nunmehr benutzen wir J und \) als neue Veränderliche. Durch 



■ermüge i//.Einführung derselben geht unsere r-gliedrige Gruppe (1) nach Satz (4), 



§ 4 des 6. Kap., wieder in eine r-gliedrige Gruppe über, etwa in diese: 



(2) j, = a>(£, i), «1 . . «;.), ^1 = y^'(E» 9; «1 ••«-)• 



Nach Satz 7, § 4 des 6. Kap., geht ihre infinitesimale Transformation 

 Uf in die infinitesimale Transformation 



der neuen Gruppe (2) über. Wegen ül^Q, 'ü\)^l wird aber 



Die neue Gruppe enthält demnach die infinitesimale Transformation 



£1 = £ + •••, 9i = ^ + ^^ + --S 

 in der die nicht geschriebenen Glieder von zweiter und höherer Ord- 

 nung in der gegen Null convergierenden Grösse 8 t sind. 



b'oige einer Nach ciuer allgemeinen Transformation (2) der neuen Gruppe 

 inf. TransT wollen wir jetzt diese infinitesimale ausüben. Wir haben also zu setzen: 



und £1, l;^ hieraus vermittelst (2) zu eliminieren. So kommt: 



