Die von den inf. Transf, der Gruppe erzeugten eingliedrigen Uutergruppen. 179 



Diese Transformation muss wieder der Gruppe (2) angehören und also, 

 da sie nur unendlich wenig von der Transformation mit den bestimmt 

 gewählten Parametern a^ . . ür abweicht, aus (2) dadurch hervorgehen, 

 dass darin für a^^ . . a^ gewisse von diesen Werten nur unendlich wenig 

 abweichende Werte 



«1 -|- da^, • • ■ ür -\- dttr 



gesetzt werden, sodass (3) äquivalent sein muss mit: 



£2 = 0(j, t),ai + d«i, --ar+dar), t), = W{i, t), a^^ da„--a,- ■ 80,:) 



oder mit : 



i)2 = 

 Es ist also : 



(4) 



'^u-,«),'.,---'»,)+^"'''l:^- '"'*"' + 



oai 



2 



1 



r 



2 



da, + . . . = 



da;-\ = d^ + 



Hier sind die durch Punkte angedeuteten Glieder von zweiter oder 

 höherer Ordnung in den da links und in d^ rechts. Da die Trans- 

 formation mit den Parameterwerten a^ -\- da, der Aufeinanderfolge der 

 Transformation mit den Parameterwerten da, und der infinitesimalen 

 Transformation, die dt enthält, äquivalent ist, wie auch j, t) gewählt 

 sein mögen, so sind die a,- + ^Cii oder also auch die da-, selbst ge- 

 wisse Functionen der a,- und von dt allein. 



Wenn für die öai eben diese Functionen der a,- und von dt einge- 

 setzt werden, so müssen die Gleichungen (4) Identitäten werden für 

 alle Werte von j, t). Umgekehrt werden wir nun die Gleichungen (4) 

 benutzen, um daraus die Beziehungen abzuleiten, welche die dai durch 

 die üi und durch dt ausdrücken. Wir geben nämlich etwa in der 

 zweiten Relation (4) den Veränderlichen j, ^ auf r verschiedene Weisen 

 bestimmte, aber irgendwie gewählte Zahlenwerte. Alsdann erhalten 

 wir r Gleichungen zwischen den a^-, düi und dt und zwar r Gleichungen, 

 die von den ai, da, und dt nicht nur an den bestimmten Stellen j, ^, 

 sondern in der ganzen Ebene erfüllt sein müssen, da die düi Func- 

 tionen der üi und von dt, aber frei von j und t) sind. 



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