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Kapitel 7, § 1. 



Es mögen ^i, ^2 • • ^r und ^1, W.^ . . ^r die Werte sein, welche 

 bez. W bei diesen r Annahmen für j, t) erhält. Bilden wir nun 

 die Matrix: 



da^ 





dWr 



dar 



dar 

 dar 



dWr 



dar 



Wichtige 

 Kelationen. 



SO ist leicht einzusehen, dass nicht alle r- reihigen Determinanten der- 

 selben identisch verschwinden für alle r Wertepaare j, \). Nehmen 

 wir nämlich sogleich in allgemeinster Weise an, dass alle p- reihigen 

 Determinanten, nicht aber alle ((> — l)-reihigen verschwinden, so können 

 wir in einer der ersteren, in der nicht alle (()—l)- reihigen ünterdeter- 

 minanten Null sind, in einer Zeile für das betreffende Wertepaar der 

 Veränderlichen eben g, ^ selbst setzen und haben alsdann eine homo- 

 gene lineare partielle Differentialgleichung in a^ . . ür mit nicht ver- 

 schwindenden Coefficienten, die von 0(g, ^, a^ . . a^) bez. *P"(e, ^, ay..a,) 

 erfüllt wird. Da nun alle ^- reihigen Determinanten verschwinden, so 

 wird die Gleichung auch dann bestehen, wenn in ihr die Function ^ 

 bez. W durch W bez. ersetzt wird. Nach Satz 1, § 1 des 6. Kap., 

 sind also % . . «^ nicht sämtlich wesentliche Parameter der Gruppe (2). 

 Dies aber widerspricht der Voraussetzung. Es verschwinden demnach 

 auch nicht alle r -reihigen Determinanten der Matrix. Sicher können 

 wir folglich" aus den Gleichungen, die aus (4) durch besondere Wahl 

 von g, \) hervorgehen, passende r herausgreifen von der Form: 



Ua d«! -f" ^«2 ^«2 4" ■ ' + Wi> dür -|- ••• = ••• , 



Vji d«! -|- Vj2 da^ + • • + Vjr Sttr -\- • ' • = dt -\- ■ • • , 



und zwar bedeuten darin die u und v gewisse Functionen von a^ . . ür, 

 deren Determinante nicht verschwindet. Die Glieder höherer Ordnung 

 in den dai und in dt sind nur angedeutet. Die Coefficienten auch 

 dieser Glieder sind Functionen von a^ . . ttr allein. 



Nun aber folgt aus einem Satze der Theorie der unendlichen 



