Die von den inf. Transf. der Gruppe erzeugten eingliedrigen Untergruppen. 181 



Potenzreiheu, dass wir hieraus da^ . . dUr nach ganzen Potenzen von 

 dt entwickeln können in der Form 



(5) da, = iVi{a^ . .a,)dt-{- • ■ ■ {i=l, 2 ..r), 



in der Jceines der Wi identisch verschtvindet. Denn eines der Wi ver- 

 schwindet nur dann, wenn unter den obigen r Gleichungen solche der 

 zweiten Art gar nicht vorkommen, wenn also 6 = ist. Dann aber 

 verschwinden alle Wi, und die Substitution der Werte (5) in die letzte 

 Gleichung (4) würde zu dem Widerspruch führen, dass links dt nur 

 in höheren Potenzen auftritt, während rechts auch dt^ vorkommt. 



Dies ist ein sehr wichtiges Ergebnis. Um es zu verwerten, kehren 

 wir wieder zu den Gleichungen (4) zurück, in denen j, l) wieder die 

 veränderlichen Grössen sein sollen. Wir bemerkten schon, dass auch 

 für willkürliche J, t) diese Gleichungen (4) durch die gefundeneu 

 Werte (5) identisch erfüllt werden müssen. Die Substitution der 

 Werte (5) liefert demnach die Identitäten: 



1 





dm 



1 



Hierin sind rechts und links die nur augedeuteten Glieder mit höheren 

 ganzen Potenzen von dt behaftet. 



Wir dividieren beiderseits duich 8t und gehen dann zur Grenze 

 Null für 8t über. Dadurch ergiebt sich : 



(6) 



2j d^i ^^ ^ . . «rj = 1 , 



und hierin sind w^ . .Wr sämtlich nicht identisch Null. 



Um hieraus Schlüsse über die Form von C? und ^P" zu ziehen, 

 betrachten wir zunächst die lineare partielle Differentialgleichung: 



r 



(7) 2«^,(ai..a.)^=0. 



1 



Sie besitzt r — 1 von einander unabhängige Lösungen /", etwa a^ia^.M^, 

 . . «r— i(«i . . «r), welche Integrale des simultanen Systems 



