182 Kapitel 7, § 1. 



da^ da^ dar 



W^ (aj • • ür) ^2 (% • ■ O'r) «?;■(% • • Ur) 



sind. Jede andere Lösung f von (7) muss eine Function von «^ . . a,._i 

 sein und darf ausserdem die in (7) als Variabein auftretenden a^ . . Ur 

 nicht enthalten. Die erste Identität (6) aber sagt aus, das^ O eine 

 Lösung von (7) ist. Demnach lässt sich ^ sicher darstellen als 

 Function von a^ . . ar-x und von den in (7) gar nicht auftretenden, 

 also bei der Integration von (7) die Rolle willkürlicher Constanten 

 spielenden Veränderlichen j, \): 



Ferner ist nach (6) ?P" Lösung der Differentialgleichung: 



r 



(9) ^^^^a,..ar)l^^=^\. - 



1 



Wenn a(a^ . . ür) irgend eine particulare Lösung derselben bedeutet, so 

 wird also offenbar ??"(£, t), a^ . . ür) — a{a^ . . a,) eine "Lösung der 

 Differentialgleichung (7), d. h. eine Function von «^ . . «,._ i und von 



£, t), die in (7) nicht auftreten, etwa die Function ^(j:, l;, a^ . . a,._i), 

 sodass 



(10) m{i, \),a,.. ar) = W(i, \), a,.. a,_,) + «(«, . . «,) 

 ist. 



Wir haben also erkannt, dass die Gleichungen (2) der in j, l) 

 geschriebenen Gruppe sich wegen (8) und (10) auch so darstellen 

 lassen : 



(11) h = 0(jc,\),a,..ar-,), \)^=^W(l,ij, a,..ar-,)-\-a. 



Sind nun a^^ . . a^^ die Werte der Parameter a^ . . ar, für die sich (1) 

 und also auch nach Satz 5 des § 4, 6. Kap., die Gleichungen (2) auf 

 die identische Transformation reducieren, und setzt man diese Werte 

 in ccj^ . . ar-i, a ein, wodurch diese etwa in «/ . . a^r-i, «" übergehen, 

 so muss sich (11) auf 



reducieren. Es ist also: 



(12) 0(j, t), «/ . . a%_i) = j, W{l, t|, «/ . . a\_x) + a" = IJ. 

 Wählen wir weiterhin a^ . . ar so, dass nur 



a, = «i", . . ar-i = a^r-i 

 wird, aber a einen beliebigen Wert annimmt, was immer angeht, d£ 



