Die von den inf. Transf. der Gruppe erzeugten eingliedrigen Untergruppen. 183 



«1 . . a,_i, a unabhängige Functionen von % . . «r sind, so folgt wegen 

 (12), dass die Gruppe alle Translationen von der Form 

 (13) h=l, t)i = t) + Const. 



enthält. — 



Kehren wir schliesslich zum Ausgangspunkt zurück: Wir hatten 

 in die Gruppe (1) solche Veränderliche J, t) eingeführt, dass eine ge- 

 wisse, aber beliebig ausgewählte infinitesimale Transformation Uf der 

 Gruppe (1) die Form einer infinitesimalen Translation in j, l) : 



annahm. Jetzt haben wir bewiesen, dass alsdann die neue Gruppe 

 auch alle endlichen Translationen (13) enthält, alle endlichen Trans- 

 formationen also, die von Uf erzeugt werden, kurz die eingliedrige 

 Gruppe Uf. Führen wir schliesslich wieder die ursprünglichen Ver- 

 änderlichen X, y ein, so kommen wir zu dem 



Satz 1: Enthält eine r-gliedrige Gruppe mit paanveis inversen 

 Transformationen die infinitesimale Transformation 



__ . cf . df 



Uf^i;',^n 



ex 



dy' 



so enthält sie auch alle endlichen Transformationai der von Uf crseugten 

 eingliedrigen Gruppe. 



Zusammen mit Theorem 18, § 3 des 6. Kap., giebt dieser Satz das 

 Theorem 19: Jede r-gliedrige Gruppe in x, ij mit paarweis Ergebnis 

 inversen Transformationen und den r von einander unab- 

 hängigen infinitesimalen Transformationen UJ .. Urf enthält 

 alle endlichen Transformationen aller oo'--i eingliedrigen 

 Gruppen e^ ü^f -}-••-{- ^r U>f 



Bei den in der ersten Abteilung betrachteten projectiven Gruppen Beispiele 

 [haben wir dieses Theorem jedesmal besonders bewiesen. Jene Gruppen 

 liefern daher viele Beispiele zu unserem Theorem. Um auch einmal 

 leine nicht- projective Gruppe zu betrachten, geben wir noch das fol- 

 rgende Beispiel. 



Beispiel: Die dreigliedrige Gruppe 



a;^ = ic -f a + hy^, y, = cy 



[besitzt die drei von einander unabhängigen infinitesimalen Transfor- 

 \ mationen : 



