Erzeugung einer Gruppe durch ihre infinitesimalen Transformationen. 185 



r von einander unabhängigen infinitesimalen Transformationen in x^ y 

 sein, während wir es dahingestellt sein lassen, ob sie einer ^-gliedrigen[^^^^°^\^° 

 Gruppe angehören oder nicht Die r infinitesimalen Transformationen '^''a^isforin. 

 bestimmen, da sie von einander unabhängig sein sollen, also keine 

 lineare Relation mit constanten Coefficienten zwischen ihnen besteht, 

 eine Schar von oo'^i infinitesimalen Transformationen 



Uf= e,UJ+ e,UJ-\- ■ ■ + erUrf. 



Hier bedeuten e^, e^ . . e,- irgend welche r Constanten, auf deren Ver- 

 hältnisse allein es ankommt. Jede dieser oo''""^ infinitesimalen Trans- 

 formationen erzeugt in bekannter Weise eine eingliedrige Gruppe von 

 endlichen Transformationen. Die Gleichungen der zur obigen Uf ge- 

 hörigen eingliedrigen Gruppe ergeben sich leicht in Form von Reihen- ^^^y^'X',','' 

 entwickelungen : 



(14) 



t t^ 



x^ = X -\- j Ux -{- --^ UUx -\- 



Wir werden direct zeigen, dass dies die Integralgleichungen des simul- 

 tanen Systems : 



(15) p=p-==:dt 



sind, dessen Integration die endlichen Gleichungen der eingliedrigen 

 Gruppe üf liefert. Aus (14) folgt zunächst, dass x^, y^ sich für ^ = 

 auf X, y reducieren. Ferner folgt: 



'ifi = lTx-\-^ Uüx + /^ UUUx -\ 



at ' l '1-2 



und, indem wir Ux^ nach (14) bilden: 



Ux, = U(x + l Ux + ^'^ UUx-i- ■■) 



= Ux-^ jUUx + y~^UUUx-\----. 

 Also ist in der That 



wie es von (15) verlangt wird. Damit ist der Nachweis erbracht*). 

 Die Gleichungen (14), die bei hinreichend kleinem Wert des Para- 

 meters t convergieren, stellen also, wenn t variiert wird, die cx>^ end- 

 lichen Transformationen der von der infinitesimalen Transformation 

 Uf erzeugten eingliedrigen Gruppe dar. Setzen wir darin 



*) Eine ausführliche Herleitung der Formeln (14) findet man in den „DifFgln, 

 mit inf. Trf.", § 3 des 3. Kap. 



