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Kapitel 7, § 2. 



Uf=^eiUif 

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ein, so folgt, da allgemein, wenn üf, Vf, Wf solche Differentiations- 

 processe sind, wie die Symbole der infinitesimalen Transformationen, auch 



u(rf + Wf) = uvf + u Wf 



ist: 



r 



TJUx = ^^^ ßi(^k Ui UkX 

 i 

 u. s. w., sodass kommt : 



r r 



(16) 



y 



r r 



Lassen wir nun ausser t auch e^ . . tr variieren, so gelangen wir 

 zu allen endlichen Transformationen aller eingliedrigen Gruppen TJf, 

 die aus V^f . . ürf linear ableitbar sind. Es kommen in ihnen r -\- 1 

 willkürliche Constanten e^ . . er und t vor. Sie treten aber nur in den 

 r Verbindungen e^t, e,^t . . ßrt auf, d. h. wir dürfen, ohne den Umfang 

 der Schar (16) zu verringern, ^=1 setzen. Dass eine Constante über- 

 zählig ist, folgt auch schon daraus, dass bei Uf^UciUif nur die 

 Verhältnisse von e^ . . er in Betracht kommen. Setzen wir also in 

 (16) i^=l: 



(17) 



+ 2 ''^^"^ -^ 1^' 



^- ei ek UiükX -{- 



r r 



Vi = y + 2 ^' ^' ^ + r"2 22 ^' ^^ ^' ^- ^ + 



Alle eudi. Jetzt geben die Gleichungen (17) alle endlichen Transformationen 



Transform., '-' o \ / 



^^^^•^^J.^^ aller oo''~^ eingliedrigen Gruppen TJf, wenn man e^ . . Cr beliebig 

 Transfer- variieren lässt. Wir behaupten nun, dass in dieser Schar (17) e, ..tv 



mationen. -t / \ / v ' 



sämtlich wesentliche Parameter sind, d. h. dass (17) wirklich oo'" von 

 einander verschiedene Transformationen darstellt. 



Specieller 

 Fall. 



Dies zu beweisen, betrachten wir zur Vorbereitung den einfachen 

 Fall, dass die Zahl r = 2 ist — dass also von nur zwei von einander 

 unabhängigen infinitesimalen Transformationen JJ^f, U^f die Rede ist — , 

 und dass überdies U^f und C^/^ einem beliebigen Punkte (x, y) ver- 



