Erzeugung einer Gruppe durch ihre infinitesimalen Transformationen. 187 



schiedene FortschreitungsrichtuDgeu zuordnen, d. h, dass auch keine 

 Relation von der Form U2f=(p(x, y) U^f hesteht, dass also stets 



ist. Dies letztere kommt, wenn 



UJ=^x{x, ^>+ rJ^(x, y)q, 



U.,f^ i^{x, y)p + n,^(x, y)q 

 angenommen wird, darauf hinaus, dass die Determinante 



^1 % — ^2 ni =N 



ist. Alsdann bilden wir die Determinante 



3 fj d e^ \ 



Dieselbe ist sicher nicht identisch Null, denn wenn man nach ihrer 

 Bildung gj == ^2 = setzt, so reduciert sie sich wegen (17) gerade 

 auf Ii7^2 — §2T?i. Wir können daher aus den Gleichungen (17), in 

 denen sich jetzt wohlbemerkt jede Summe nur auf zwei Zahlen er- 

 streckt, e^ und ^2 berechnen als Functionen von x, y und x^^ y^. Ist 

 aber dies möglich, so sind offenbar Ci, e.^ beide wesentliche Parameter 

 in (17). Die Schar (17) definiert deshalb wirklich oo^ verschiedene 

 Transformationen. Für den vorliegenden Fall ist also die Behauptung 

 bewiesen. 



Wir kehren nun zu dem allgemeinen Fall zurück, dass r von^^^^^'jf"' 

 einander unabhängige infinitesimale Transformationen UJ . . Urf vor- 

 gelegt sind. Wir geben den Coordinaten x, y in (17) auf r verschie- 

 dene Weisen bestimmte, aber allgemein gewählte Werte x^^\ y^^^] 

 x^^\ ^(2). ^(/)^ y(r)^ j)jg zugehörigen Werte von x^, y^ seien Xj'^^\ 

 f/i(^>; Xi^^\ ^i^"^); . . Xj^''^ «//''^ Ist allgemein 



Uif= h{x, y)p + r}i{x, y)q, 

 so erfährt der Punkt (x^\ y^J^) bei Uif die Coordinatenincremente 



|(ic(^-), y^^^)dt, 'r}(x^\ y^^)dL 



Die Transformation Uif hat also, ausgeübt auf das Variabeinpaar x^^\ 

 y^^\ das Symbol 



Betrachten wir alle 2r Wertpaare x^^'', y^^^ auf einmal, so wird also 

 die Transformation Uif, auf dieselben ausgeführt, das Symbol 



