1 88 Kapitel 7, § 2. 



haben, denn die rechte Seite stellt, mit 8t multiplieirt, das Increment 

 dar, das eine beliebige Function f von x^'^\ ^<^); . . ^('), iß) bei der 

 infinitesimalen Transformation erfährt. 



Zunächst können wir zeigen, dass keine r linearen Relationen von 

 der Form 



9>. Ux'f+ (P2 U,^f-\ \-<pr U/f= (j = 1, 2 . . r) 



identisch bestehen können, in denen cp^, (p.^ . . tp, gewisse Functionen 

 der 2r Veränderlichen a;W, i/(i); . . a;^''), tß) und zwar in allen r Rela- 

 tionen dieselben Functionen, also unabhängig von j, wären. Beständen 

 nämlich r solche Relationen identisch, und nähmen cp^ . . 9),. für irgend 

 ein beliebiges Wertsystem x^^\ y^^)-^ . .x^''), y^"-) die Zahlenwerte q ..c,. 

 an, so würde die infinitesimale Transformation 



die r Punkte {pP-\ y(i)), . . {x^'\ y<^>)) in Ruhe lassen. Dies aber ist un- 

 möglich, denn unter den c»'— 1 infinitesimalen Transformationen 



giebt es höchstens 00'— 2^ welche einen beliebig aber bestimmt ge- 

 wählten Punkt (a;(i), ?/(i)) invariant lassen. Ihre Coefficieuten e^ . . Cr 

 bestimmen sich nämlich aus den beiden Gleichungen: 



e^riM'\ y^'^) + . • + er7ir(xW, yW) = 0, 

 die sicher nicht beide identisch Null sind für jedes Wertsystem x'-^^, y^^\ 

 weil sonst bei den TJf alle Punkte der Ebene in Ruhe blieben. Weiter 

 schliessen wir ebenso, dass es unter den höchstens oo*— ^ infinitesi- 

 malen Transformationen, die den Punkt {x'^^\ y^'^^) nicht ändern, höch- 

 stens 00'— 3 giebt, die auch einen zweiten beliebig, aber bestimmt 

 angenommenen Punkt {x^^), iß)) in Ruhe lassen u. s. w. Schliessen 

 wir so weiter, so folgt endlich, dass es keine infinitesimale Trans- 

 formation 2eiUif giebt, welche r beliebig, aber bestimmt gewählte 

 Punkte in Ruhe lässt. 



Hiernach steht fest, dass keine r Functionen cp^ . . cpr existieren, 

 für die gleichzeitig 



