Erzeugung einer Gruppe durch ibre infinitesimalen Transformationen. 189 



wäre. Hierin sollen natürlich die oberen Indices j bedeuten, dass für 

 X, y die Werte x*^^^, ?/(•'> eingesetzt zu denken sind. 



Wenn nun alle r-reiliigeu Determinanten der Matrix 



1/^^ ... I.(^> 



(19) 





(1) 



n 



(r) 



(r) 



Vi"' • ■ ■ v>-' 



identisch Null wären, so könnten wir offenbar doch solche r Functionen 

 tpi . .(pr angeben, für welche die 2r Identitäten (18) beständen. Dann 

 nämlich würden die r ersten Relationen (18) die r letzten ohne wei- 

 teres nach sich ziehen und es brauchten cp^ . . cp,. nur so bestimmt zu 

 werden, dass sie die r ersten erfüllten, was möglich wäre, da die 

 Determinante dieser r Relationen auch identisch Null wäre. 



Also schliessen wir umgekehrt, dass sicher nicht alle r-reihigen 

 Determinanten der Matrix (10) identisch verschwinden. 



Die r Punkte {x(^\ yW\ . . (a;('>, ^t')) werden bei der eingliedrigen 

 Gruppe Uf -^:: i: eiUif in die r Punkte {x,^^\ ^i^^O; • • (^/'^ 2//''0 "^^^i"- 

 geföhrt, für welche in Gemässheit von (17): 



(20)' 





Vi 



(j) 



yU) _|_ ^ e, U;^ yU) + ^^yi c, e, RJ W y^^' + • 



(i = i, ^•.^•) 



ist. Lassen wir hierin e^ . . er variieren, so erhalten wir alle endlichen 

 Transformationen aller eingliedrigen Gruppen üf, ausgeführt auf die 

 r Punkte. Es ist nun unmöglich, aus diesen 2r Gleichungen (20) 

 mehr als r von e^ . . Cr freie abzuleiten, denn die Gleichungen sind 

 nach e^..er auflösbar, da nicht alle r-reihigen Functionaldeterminanten 

 der Matrix 



dci 



der 



