190 Kapitel 7, § 2. 



die sich ja für e^ = e^ = • • = e,. = auf die Matrix (19) reduciert, 

 identisch verschwinden, denn sonst müssten auch alle r- reihigen De- 

 terminanten der Matrix (19) identisch Null sein. Es lassen sich somit 

 e^ . . ßr aus (20) als Functionen der x^^\ «/<•''> und Xi^^\ ?/^(-''> berechnen. 



Nehmen wir ah , wir hätten den e^ . . e^. andere Werte e^ . . 6;. ge- 

 geben und verlangten, dass auch die zu diesen gehörige Transfor- 

 mation von der Form (20) die r Punkte x^^^ y^^i in die r Punkte 

 ^i^\ Vi^^ überführte, so würden wir für \...er dieselben Functionen 

 der x^^\ y^^^ und x^^^\ y-^^'^ erhalten, d. h. es müsste dann doch ej = e^^ 

 . .er == ßr sein. Also stimmen zwei der Transformationen (20) nur 

 dann überein, wenn in ihnen die e übereinstimmende Werte haben. Es 

 sind aber die Transformationen (20) nichts anderes als die Trans- 

 formationen (17), ausgeführt auf r Punkte der Ebene. Es folgt daher 

 umsomehr: Zwei Transformationen (17) sind dann und nur dann in 

 allen Punkten der Ebene äquivalent, wenn in ihnen' e^ . . Cr überein- 

 stimmende Werte haben. Mit anderen Worten : (17) stellt wirklich 

 oo'' verschiedene Transformationen dar. 



Wir fügen noch hinzu, dass zur Transformation (14) diejenige 

 invers ist, die sich ergiebt, wenn t durch — t ersetzt wird. Demnach 

 enthält auch die Schar (16) zu jeder ihrer Transformationen die in- 

 verse, ebenso die Schar (17). Bei dieser erhalten wir die inverse, wenn 

 wir e^ . . er mit — e^ . . — er vertauschen. 



Theorem 20: Sind die r infinitesimalen Transformationen 

 Uif= ^i(x, y)p + 7ii(x, y)q (^ = 1, 2 . . r) 



von einander unabhängig, und sind e^ . . er willhürliche Para- 

 meter, so bildet der Inbegriff aller eingliedrigen Gruppen 



eiUif+---\- erUrf 



eine Schar von Transformationen : 



r r- 



Xi = X -{• ^ ei UiX -\- ^ ^ e.- Cu Ui UkX -\ , 



1 1 



r r 



yi = y + ^'eiUiy + ^^eiekUi Uky -\ , 



1 1 



in welcher die r Parameter e^-.Cr sämtlich wesentlich sind, also 

 eine Schar von oo'" verschiedenen Transformationen. Diese 

 Schar enthält gu jeder ihrer Transformationen auch die inverse. 

 Künftig werden wir diese Schar öfters kurz bezeichnen als die 

 „oo'" endlichen Transformationen, erzeugt von ü^f . . . Urf"^. 



