Erzeugung einer Gruppe durch ihre infinitesimalen Transformationen. 191 



1. Beispiel : Liegen die beiden infinitesimalen Transformationen Beispiele. 



vor, die von einander unabhängig sind, so lauten die endlichen Glei- 

 chungen der eingliedrigen Gruppe e^p -\- e-^xq, wie man durch Inte- 

 gration des simultanen Systems 



da^ ^ dy^ ^ ^^ 



sofort findet: 



e, e. 



Xi=x-\-eJ, Vi = tj + e^xt -}- -^ t\ 



Lässt man e^, e^ variieren, so sind dies offenbar oo^ verschiedene end- 

 liche Transformationen, die übrigens keine Gruppe bilden. 

 3. Beispiel: Sei 



UJ = p, U^f=xq, l\f=tjp, 

 so ergeben sich die endlichen Gleichungen der eingliedrigen Gruppe 



üf=e^p-\re.,xq + e._,yp 

 z. B. auch durch Reihenentwickelung : Es ist 



C/ic = e^ -f c^y, TJy = e^x, 



UUx EEE e.^e^x, UUyEEzß^ (e^ 4- e^?/); 



üü Ux '-= eg^-sCt'i + (^sV), ^^ Uüy ^ c^^H^-, 

 VUUUx -EEi e.^-e^'x, UUUUy e^ 62^63(^1 + e^y), 



> } 



sodass kommt: 



X, 



«^ + e, + «3?/ + Y . 2 ^'2^3^ + rT2T^ ^2^3(^1 + e.,y) 



+ i.2.3-4 ^^V^ + 



oder: 



analog 



^^ e -j-e e, + «sV 1 g — g «2^ £1 . 



In diesen Gleichungen sind, wie man leicht sieht, ßj, e^, e.^ sämtlich 

 wesentliche Parameter, wie es sein muss. Diese Gleichungen stellen 

 keine Gruppe dar. 



Wir wenden nunmehr endlich unser Theorem 20 auf den beson- Anwendung 



auf 



deren Fall an, dass die r vorgelegten von einander unabhängigen in- oruppon. 

 finitesimalen Transformationen U^^f . . U,f, über die wir bisher keine 

 weiteren Annahmen machten, einer r-gliedrigen Gruppe angehören. 



