Zur Berechnung der endlichen Gleichungen einer Gruppe. 193 



dxt (Ijh = (1t 



(21) 



2 e,- 1/ {x, ,y,) ^ Ci n, {x^ , y, ) 



mit der Anfangsbedingung x^^ = x;yi = ^ für ^ = 0. Durch Integra- 

 tion desselben werden x^^, y^ als Functionen von x, y und t bestimmt. 

 Doch enthalten diese Functionen e^ . . er und t nur in den r Ver- 

 bindungen e^t, e^t . . ßrt, und es kann daher nachträglich t=l gesetzt 

 werden, was ja darauf hinauskommt, dass für e-^t^ e^t . . e,.t neue Para- 

 meter eingeführt werden. Durch Reiheuentwickelung ist die Integra- 

 tion des simultanen Systems [2\) durch die Formeln des Theorems 21 

 geleistet. 



Wir bemerken aber, dass die Integration des simultanen Systems 



(21) durch endliche geschlossene Ausdrücke schon in einfachen Fällen 

 deshalb erhebliche Schwierigkeiten machen wird, weil das System r 

 willkürliche Constanten e^ . . er enthält, die nicht specialisiert werden 

 dürfen. Es empfiehlt sich deshalb, den folgenden Weg zur Gewinnung 

 der endlichen Gleichungen der Gruppe zu betreten: 



Zunächst suchen wir die endlichen Gleichungen der von jedor zweite 

 einzelnen infinitesimalen Transformation TJif erzeugten eingliedrigen 

 Gruppe durch Integration der r simultanen Systeme: 



(22) T-r-"-^ = -r^'-\ = ^^^ (^ = 1, 2 . . r) 



mit den Anfangs werten x , y von x^ , «/^ für t = 0: 



X, = (piix, y, t), y^ = ti{x, y, t) {i=^\, 2 . .r). 



Wir wollen alsdann nach einer allgemeinen Transformation 1\ der 

 ersten eingliedrigen Gruppe ü-^f eine allgemeine Transformation jT^ der 

 zweiten ü^f, auf diese eine Transformation Tg der dritten TLf u. s. w, 

 ausführen. T^ wird x, y in x^, y^, T^ diese in x.^, y.^, . . verwandeln, 

 sodass zu setzen ist: 



,x^ = (p,(x, y, t^), y, = tlJi(x, y, t^); 



(23) ^2 ^ 9^2 (^1 . !/i^ Q, 2/2 = ^2(^1» Vi^ Q'i 



Xr = (pr{Xr-l, «/r-l, t,), yr = 1pr{Xr-\, ?/»— 1, ^;)- 



^1, U..tr sind hierin willkürliche Parameter. Durch Elimination von 

 x^, y^ . .Xr-i, yr-i ergeben sich gewisse Gleichungen: 



Xr = 0{X, y,t^.. tr), yr = ^{x, y, k . . tr) 



oder, wenn wir die transformierten Veränderlichen mit x\ y bezeich- 

 nen, diese : 



Lie, f^ontiuiiierllcbe Gruppen. ••' 



