194 Kapitel 7, § 3. 



(24) x= 0(x, y,t,.. tr), y= W{x, y, t, . . tr). 



Dieselben stellen, wie auch t^ . Ar gewählt sein mögen, eine Trans- 

 formation dar, welche r aufeinanderfolgenden Transformationen T,, 

 T^ . . Tr der r einzelnen eingliedrigen Gruppen äquivalent ist, also 

 eine Transformation der r-gliedrigen Gruppe. Die in ihnen enthaltenen 

 Parameter t^ . . tr sind nun ab'er auch sämtlich wesentlich, denn die 

 2r Gleichungen (23) beginnen ja bekanntlich, nach t^ . . U ent- 

 wickelt, so: 



«1 = ^ + ^1 li + • • , yi = y + hni-\- ••'-, 



^2 = ^1 + f^U"-^ + ■-, y^^Pi-^ h%^'^ + • •; 



Xr = Xr-1 + tr 1/'—^) + • • , yr = tjr-l + tryr^'—^^ + • • . ] 



i 



Hierin bedeutet |A;^'^ »?/*^ dass in |^, rjk für x, y die Variabein X/, yi \ 

 gesetzt sind. Eliminieren wir nun x^, ^, . . Xr-i, y,—!, so kommt ge- 1 



nau bis auf Glieder erster Ordnung: « 



1 



^r = ^ + ^1 ll H \-trl-\ , yr = y + tir}^-\ [- trr}r-\ , j 



WO nun li . . ^r, ^i • ■ Vr sämtlich x, y enthalten. Daher lauten die 'i 

 Gleichungen (24) nach t^ . . tr entwickelt: i 



r r I 



(24') x = x + ^t,U,x-\---, y = yJ^^tJhy^.-.. \ 



1 1 % 



i 



Sie stimmen also in den Gliedern erster Ordnung mit den Gleichungen ;| 

 (17) des vorigen Paragraphen überein, nur steht hier ^ . . /^ statt e^..er. | 

 Der Nachweis, dass in (17) e^ . . ß,. wesentlich sind, wurde damals ge- | 

 führt mit Hülfe der Form der Glieder erster Ordnung allein. Wir '■ 

 können daher ohne weiteres auch sagen, dass die Gleichungen (24) ', 

 oder (24') alle r Parameter t^ . . tr als wesentlich enthalten. 



Also stellen die Gleichungen (24) oo'" verschiedene endliche Trans- 

 formationen der r-gliedrigen Gruppe, mithin alle Transformationen 

 derselben dar. 



Vorzüge Diese Methode*) zur Bestimmung der endlichen Gleichungen einer 



iid Nacli- T 1 • /-< 1 ■ 



iie beider r-ghedrigen Gruppe hat vor der ersten Methode den Vorzug, dass die ' 



letLodoii. _ . - . . ' 



Integration hier in r von einander unabhängigen Schritten geleistet 



*) Die oben gegebene zweite Methode teilte Lie dem Herausgeber im An- 

 fange des Jahres 1891 mit. Im Laufe des Sommersemesters desselben Jahres 

 brachte er sie in seinen Vorlesungen. Im Herbst endlich und unabhängig davon ' 

 veröffentlichte Maurer in den Math. Annalen Bd. 39 eine Abhandlung, in der er 

 ebenfalls diese Methode entwickelte. 



