Zur Berechnung der encHichen Oleichungen einer Gruppe. 195 



wird durch die Integration der r Systeme (22), deren keines willkür- 

 liche Constanten enthält. 



Andererseits leistet sie aber doch nicht dasselbe wie die frühere 

 Methode, denn während die endliche Transformation (17) (in § 2) ge- 

 rade von der infinitesimalen Transformation e^ l\ / + * ' + ^'- U^'f er- 

 zeugt wird, welche dieselben Zahlen e^ . . e,- enthält, ist es durchaus 

 nicht allgemein richtig, dass die endliche Transformation (24) oder 



(24') gerade von der infinitesimalen Transformation f^ l\f -] \- t,- Hf 



erzeugt wird, wie man zu vermuten geneigt sein könnte. Die Ent- 

 wickelungen (17) und (24' j, die, bis auf andere Bezeichnung der Para- 

 meter, in den Gliedern erster Ordnung übereinstimmen, sind vielmehr 

 in den Gliedern zweiter Ordnung schon nicht mehr dieselben. 



Die zweite Methode giebt also zwar die endlichen Gleichungen 

 der r-gliedrigen Gruppe bequemer, man kann aber nicht so leicht 

 einsehen, welche infinitesimale Transformation gerade eine der ge- 

 fundenen endlichen Transformationen erzeugt. Es ist jedoch zu be- 

 merken, dass die zweite Methode bei gewissen Fragen der Gruppen- 

 theorie dennoch den Vorzug verdient. 



Die bisherigen Betrachtungen lehren, dass eine r-gliedrige Gruppe 

 in X, y mit paarweis inversen Transformationen vollständig definierl 

 ist durch die Angabe von r von einander unabhängigen infinitesimalen 

 Transformationen U^f . . Urf der Gruppe. Daher werden wir eine 

 solche Gruppe häufig kurz als „Gruppe, erzeugt von ü^f . .Urf" oder ^«'"i'i'e 

 kurz als „Gruppe U^f . . ILf" bezeichnen. Dass jedoch nicht beliebige 

 r von einander unabhängige infinitesimale Transformationen stets eine 

 Gruppe erzeugen, kann man aus den obigen Beispielen zu Theorem 20 

 entnehmen. Im übernächsten Kapitel werden wir das Criterium dafür 

 aufstellen, dass U^f . . U,f eine Gruppe erzeugen. 



Wir geben zwei Beispiele. Beispiele. 



1. Beispiel. Man soll aus den acht von einander unabhängigen in- 

 finitesimalen projectiven Transformationen 



p, a, ^p, yp, ^<i, yüy ^h^ + ^ya, ^yp + y^Q 



die endlichen Gleichungen der allgemeinen projectiven Gruppe ableiten. 

 (Vgl. § 2 des 2. Kap.) 



Wir wenden die zweite Methode an, indem wir die von den 

 obigen acht infinitesimalen Transformationen erzeugten eingliedrigen 

 Gruppen bestimmen und die Variabein und Parameter wie in (23) be- 

 zeichnen : 



13* 



