Transitive und intransitive Gruppen. 197 



Man kann leicht verificieren, dass sie eine dreigliedrige Gruppe dar- 

 stellen. Natürlich darf hierin t == 1 gesetzt werden, da t überzählig 

 ist. Lassen wir t variieren, während wir c^, c^, e.^ bestimmte Werte 

 geben, so erhalten wir die von e^p + e^q + e^^j) erzeugte einglie- 

 drio-e Gruppe. Die Anwendung der zweiten Methode macht keine 

 Schwierigkeit. 



Schliesslich heben wir noch die kleine, aber wichtige Bemerkung^;;^!;^'^^;;^^;;« 

 hervor, die keines Beweises bedarf: dor Geraden" 



Satz 2 : Die Sätze der leiden letzten Kapitel lassen sich sofort auf 

 die Gruppen der Geraden ausdehnen, da die Gleichung einer solchen 



Gruppe : 



Xi = (p((JC, «1 . . a,) 



durch Hinzufügung der Gleichung 



in eine Gruppe der Ebene übergeht 



Wir werden daher künftig ohne weiteres die abgeleiteten Sätze 

 auch für Probleme benutzen, welche Gruppen der Geraden betreffen. 



Kapitel 8. 



Traiisitivität, Invariaiiteii, Primitivität. 



Nachdem wir in den beiden vorhergehenden Kapiteln allgemeine 

 Eigenschaften der endlichen coutinuierlichen Transformationsgruppen 

 abgeleitet haben, gehen wir nun dazu über, die Gruppen in gewisse 

 grosse Klassen zu bringen, indem wir die Begriffe der Transitivität und 

 Primitivität einführen, zu deren ersterem der Begriff der Invarianten 

 von Gruppen in enger Beziehung steht. 



§ 1. Transitive und intransitive Gruppen. 



Eine r-gliedrige Gruppe: '"'^^^^ 



(1) Xi = (p(x, y, a^.. ar), ?/i = t{x-, y, a^.. «r) 



nennen wir transitiv, wenn sich stets die Parameter «i . . ar so annehmen 

 lassen, dass die Transformation (1) einen bestimmt gewählten Punkt 

 allgemeiner Lage {x, ij) in einen beliebigen anderen bestimmt ge- 

 wählten Punkt {x,, ijy) allgemeiner Lage überführt, oder genauer ge- 



