198 Kapitel 8, § 1, 



sagt — um functionentheoretische Schwierigkeiten zu vermeiden 



dass sie ihn in einen beliebigen anderen bestimmt gewählten Punkt 

 in der Umgebung des ersten Punktes überführt. Ist dagegen der Punkt 

 (Xi, 2/i) an eine natürlich durch den Punkt {x, y) selbst gehende Curve 

 gebunden, so bezeichnen wir die Gruppe als intransitiv. 

 So z. B. ist die Gruppe 



transitiv, denn wählen wir x, y irgendwie und ebenso x^, y^ irgend- 

 wie, so lassen sich a, b immer so berechnen, dass diese Gleichungen 

 erfüllt werden. Dies ist auch geometrisch einleuchtend, 'denn jene 

 Gruppe besteht aus allen Translationen, welche eine beliebig gewählte 

 Stelle in eine andere beliebig gewählte Stelle überführen. 

 Die Gruppe 



Xi=X, y^ = y -{- ax + b 



ist dagegen intransitiv, denn hier kann ein Punkt {x, y) stets nur in 

 Punkte {x^^, y^ mit derselben Abscisse, also nur in Punkte der durch 

 ihn gehenden Parallelen zur y-kme übergeführt werden. Der Punkt 

 (^i> ^i) beschreibt also, wenn man a, b in allen möglichen Weisen 

 wählt, kein Flächenstück, sondern nur eine Curve. 



"FOTmu-^' • ^^^^ ^^® Gruppe (1) transitiv sein, so müssen sich, wenn x, y be- 

 lieruug. liebig und Xi, y^ innerhalb der Umgebung der Stelle {x, y) ebenfalls 

 beliebig gewählt werden, die Gleichungen (1) dadurch erfüllen lassen, 

 dass man den Parametern a^ . . a^- bestimmte Werte erteilt. Lassen 

 sich die Gleichungen (1) nach zweien der Parameter, etwa a^ und a^, 

 auflösen, so ist dies offenbar möglich, denn man braucht nur a^..ar 

 irgendwie anzunehmen, um dann durch diese Auflösung auch a^, a^ 

 zu bestimmen. Wenn dagegen die Gleichungen (1) nicht nach zweien 

 der Parameter auflösbar sind, so lässt sich aus ihnen eine Gleichung 

 zwischen x, y und x^^, y^ allein ableiten: 



%{x, y, x^, yi) = 0. 



Diese aber sagt aus, dass der transformierte Punkt (x^, y^), sobald 

 X, y bestimmt angenommen sind, an eine gewisse Curve gebunden, 

 also die Gruppe intransitiv ist. 



Satz 1: Eine r-gliedrige Gruppe in zwei Veränderlichen 



Xi = (p(x, y, a^.. ttr), «/i = ■ipix, y, a^. . ar) 



ist transitiv, sobald sich ihre Gleichungen nach zweien der Parameter 

 a^ . .ar auflösen lassen. Anderenfalls ist sie intransitiv. 



An den beiden obigen Beispielen kann man dies sofort verificieren. 



