Transitive und intransitive Gruppen. 199 



Die intransitiven Gruppen unterscheiden sich also dadurch wesent- ^°;Xno 

 lieh von den transitiven, dass ihre Transformationen einem beliebigen ^i;,\ curvc;^ 

 Punkte f nur solche Lagen erteilen, die keine Fläche, sondern bloss «'«i'p«" 

 eine Curve c erfüllen. Eine intransitive Gruppe ordnet demnach jedem 

 Punkte p eine Curve c zu, die durch ihn hindurchgeht, da die Gruppe 

 die identische und infinitesimale Transformationen enthält. Es ist 

 dann leicht, nachzuweisen, dass auch jedem anderen Punkte j^^ auf c 

 eben diese Curve durch die Gruppe zugeordnet wird. Denn es existiert 

 eine Transformation T« der Gruppe, die den Punkt jp nach der Stelle 

 />, führt: 



Führt nun eine Transformation T^ der Gruppe den Punkt p^ in den 

 Punkt «o über: 



so kommt 



{p)TaTo = (p,). 



Aber TaTb ist einer Transformation T(„,t, der Gruppe äquivalent, also: 



d. h. i?2 liegt auf der i> zugeordneten Curve c, oder: dem Punkt p^ ist 

 ebenfalls die Curve c zugeordnet. 



Eine eingliedrige Gruppe ist natürlich stets intransitiv, denn bei 

 ihren oo^ Transformationen beschreibt jeder Punkt p eben nur seine 

 Bahnciirve. 



Bei einer jeden intransitiven Gruppe wird allgemein demnach die 

 Ebene in unendlich viele Curven zerlegt und zwar, da allen oo^ Punkten 

 einer dieser Curven eben diese Curve zugeordnet ist, gerade in oo^ 

 Curven. Jede dieser oo^ Curven c bleibt nach dem Vorstehenden in- 

 variant gegenüber den Transformationen der Gruppe, indem jede Trans- 

 formation Tf, der Gruppe einen Punkt p^ einer der Curven c wieder 

 in einen Punkt p^ derselben Curve verwandelt. Diese oo^ einzeln in- 

 varianten Curven werden dargestellt durch eine Gleichung von der 



Form 



co{x, y) = Const., 



und zwar muss 



»(^^ y) = (^ 



stets 



«(^1, 2/1) = <^ 



nach sich ziehen, sobald {x^, y^) der Punkt ist, in den {x, y) durch 

 irgend eine Transformation der Gruppe (1) übergeht. Vermöge der 

 Gleichungen (1) muss daher 



