200 Kapitel 8, § 1, 2. 



«l^'i; Vi) = «(*•, y) 



sein und zwar identisch für alle Werte von x, y, a^ . . cir. Die Func- 

 tion (o(x, y) ändert also ihren Wert nicht bei irgend einer Transfor- 

 invanaBte ^^^tiou der Gruppe, und wir nennen sie deshalb eine Invariante der 



Wenn umgekehrt die Function Sl{x, y) bei allen Transforma- 

 tionen einer vorgelegten Gruppe (1) invariant bleibt, also vermöge (1) 

 identisch 



^(^i; !/i) = ß(a;, y) 



ist, so liegt der transformierte Punkt {x^, y^) auf der Curve 



Sl{x, y) = Const., 



sobald der ursprüngliche Punkt {x, y) auf ihr gelegen ist, d. h. er ist 

 an eine Curve gebunden, die Gruppe ist intransitiv. 



Satz 2: Transitive Gruppen der Ebene haben Jceine Invarianten; 

 intransitive dagegen haben eine Invariante, und jede ihrer Invarianten 

 lässt sich als Function irgend einer ihrer Invarianten darstellen. 



Das Letztere ist evident, denn die Gruppe kann dem Punkte (x, y) 

 nur eine Curve c zuordnen, mit anderen Worten: Ist Sl(x, y) eine In- 

 variante der Gruppe, so muss die Curvenschar 



il{x, y) = Const. 

 mit der obigen Schar 



G){x, y) = Const. 

 übereinstimmen, d. h. es muss Sl eine Function von w allein sein : 



Wir werden daher auch sagen, dass eine intransitive Gruppe im 

 Wesentlichen nur eine Invariante besitzt. 



Beispiele. 1. Bcispiel ." Die Gruppe : 



OCi= X, y^=y -\- ax -\-b 



besitzt offenbar die Invariante x. Sie ist also intransitiv und zerlegt 

 die Ebene in oo^ einzeln invariante Geraden x = Const. 

 ^. Beispiel: Die dreigliedrige Gruppe: 



^1 =(1 + a,)x-{- (a^ — 1)2/ -f- «3, y^=aix-i- a.,y + a^ 



ist intransitiv, denn ihre Gleichungen lassen sich nicht nach zweien 

 der Parameter a,, «„ a, auflösen. In der That, sie lassen sich ja so 

 schreiben : 



x^= x — y -\- y^^ y^==: u,x-\- a.,y -f- a^, 



