Criterium der Transitivität. 201 



und hier tritt es iu Evidenz. Es existiert eine Relation zwischen x^ y 

 und x^, y^ allein: 



^1 — i/i^ x — y- 



Die Gruppe zerlegt also die Ebene in cx)^ einzeln invariante Geraden 

 X — y = Const. Jede Invariante der Gruppe ist eine Function von 

 X — y allein. 



5. Beispiel: Die zweigliedrige Gruppe: 



Xi = X -{- a -{- (x^ — 2y)b, 



yt-y + ax+'^ + ix-h a) (x' - 2y)& + (^' - ^yf ^- 



ist intransitiv, denn ihre Gleichungen sind nicht nach a, h auflösbar. 

 Dies kann man auf verschiedenen Wegen einsehen. Entweder bildet 

 man die Functionaldeterminaute der rechten Seiten nach a und h: 



1 x' — 2y I 



' x + a-\-{x- — 2y)b {x + a) (x^ — 2y) + {x' — 2yyh | ' 



Dieselbe verschwindet identisch. Oder man berechnet aus der ersten 

 Gleichung 



a = a.\ — X (x"^ — 2y)b 



und setzt diesen Wert in die zweite ein. Dann kommt nach einiger 

 Rechnung 



^i" — 2^/1 = x^ — 2y, 



d. h. x^ — 2y ist eine Invariante. Die Gruppe zerlegt die Ebene in 

 die oo^ einzeln invarianten Kegelschnitte x^ — -!/ = Const. 



§ 2. Criterium der Transitivität. 



Auch aus den infinitesimalen Transformationen einer r-gliedrigen 

 Gruppe kann man leicht ersehen, ob die betreffende Gruppe transitiv 

 oder intransitiv ist. Denn sind etwa Uj' . . Urf v von einander un- 

 abhängige infinitesimale Transformationen der Gruppe, so besteht die 

 Gruppe nach Theorem 21, § 2 des 7. Kap., aus den oo'' endlichen 

 Transformationen der oo''~'^ eingliedrigen Gruppen 



^e,U,f. 



Jede dieser eingliedrigen Gruppen erteilt einem beliebigen Punkte 

 {x, y) oü^ Lagen, indem sie ihn auf der durch ihn gehenden Bahn- 

 curve dieser eingliedrigen Gruppe hinführt. Die r-gliedrige Gruppe 

 ist alsdann offenbar intransitiv, wenn alle jene oo'"^ durch den Punkt 



