202 Kapitel 8, § 2. 



(x, y) gehenden Bahucurven der eingliedrigen Gruppen Z c TJf zu- 

 sammenfallen, d. h. wenn sich alle Summenausdrücke HeUf nur um 

 einen Factor von einander unterscheiden, wenn also jedes 



ist. 



Bestehen keine solche Relationen, so giebt es infinitesimale Trans- 

 formationen Uif und TJkf der Gruppe mit verschiedenen durch den 

 Punkt {x, y) gehenden Bahncurven Cj und c^. Alsdann bilden die 

 Bahncurven der cx)^ eingliedrigen Gruppen eiUif -{- Cküjcf in diesem 

 Punkte (x, y) ein Büschel von Curven. Der Punkt {x, y) wird somit 

 von den endlichen Transformationen der oo^ eingliedrigen Gruppen 

 ei Uif -\- ekUkf in alle Punkte eines Flächenstückes, nicht nur in alle 

 Punkte einer Curve, übergeführt, d. h. die r-gliedrige Gruppe ist 

 transitiv. 

 *''"^'aes°"'' S^tz 3: Eine r-gliedrige Gruppe der Ebene, welche von den r von 

 critenums. g^-^^^^^g^ Unabhängigen infinitesimalen Transformationen TJ^f . . ürf erzeugt 

 ivird, ist dann und nur dann intransitiv, wenn sich alle Utf nur um 

 einen Factor von einander unterscheiden : 



Uif=Q^{x, y)UJ (^ = 2, 3 . . r). 

 Betrachtet man nur die Fortschreitungen, welche der Punkt {x, y) 

 bei den infinitesimalen Transformationen EeJJf der r-gliedrigen Gruppe 

 erfährt, und bedenkt man, dass Uif und IJkf nur dann jedem Punkte 

 {^1 y) gleiche Fortschreitungsrichtungen zuordnen, wenn sie sich nur 

 um einen Factor unterscheiden, so findet man unmittelbar : 



Satz 4: Eine r-gliedrige Gruppe U^f . .Urf der Ebene ist dann 

 und nur dann intransitiv, tvenn ihre infinitesimalen Transformationen 

 einem PunUte allgemeiner Lage sämtlich dieselbe Fortschreitungsrichtung 

 zuordnen. 



AbiTuung Wenn die r-gliedrige Gruppe intransitiv ist, so besitzt sie, wie 



desselben, ^{y. wissen, ciuc Invariante (o(x, y), und aix, y) = Coust. stellt dann 

 den Ort aller Punkte dar, in welche ein bestimmter Punkt (x, y) bei 

 allen Transformationen der Gruppe verwandelt wird. Diese Curve ist 

 also auch Bahncurve jeder eingliedrigen Gruppe E e Uf, welche ja der 

 r-gliedrigen Gruppe angehört. Mithin ist cj(a;, y) auch Invariante 

 jeder eingliedrigen Gruppe 2JeUf, d. h. es ist 



^Ciüicoix, 2/) = 



für alle Werte der Constanten % . . Cr, also auch einzeln 



UiG){x, y) = (i = 1, 2..r). 



