Criterium der Transitivität. 



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Die Gleichungen 



müssen also eine gemeinsame Lösung o besitzen, d. h. überein- 

 stimmen. Dies aber thun sie dann und nur dann, wenn ihre linken 

 Seiten sich nur um einen unwesentlichen Factor unterscheiden, wenn 

 also jedes 



Uif~Qi{x, y)UJ 



ist. Damit sind wir wieder zum obigen Criterium zurückgelangt. 



Wir können das Criterium noch etwas anders aussprechen : Ist j-^^^^'^es 

 allgemein bei einer intransitiven Gruppe Uif..U,f' cntenums. 



Uif= ^i(x, y)p -f r]i{x, y)q (^ = 1, 2 . . >•); 

 so ist jedes 



d. h. alle zweireihigen Determinanten der Matrix 



verschwinden identisch. Also : 



Satz 5: Eine r-gliedrige Gruppe Uj'..Urt\ *'^ der 

 Uif=iip + niQ. 

 ist, ist transitiv oder besitzt Jceine Invariante, sobald nicht alle zivci- 

 reihigen Determinanten der Matrix 



identisch verschwinden. Verschtvinden sie sämtlich identisch, so ist die 

 Gruppe intransitiv und die Lösung der Gleichung UJ'=0 ihre In- 

 variante. 



1. Beispiel: Die oben betrachteten Gruppen 

 \) x^=x-\- a, y^=y + b; 



2) X^=X, y^ = y -\- ax + 6; 



3) a^i = (1 + ai)x + («2 — l)y + «a, ^i = «i^ + «2^ + «3 i 



4) Xi = X -{- a -\- (x^ — 2y)b, 



y^=y-{-ax+ ^ + (rr + a) {x' - 2y)b -\- (x^ - 2yy |' 



Beispiele. 



besitzen bez. die infinitesimalen Transformationen : 



