204 Kapitel 8, §§ 2, a. 



^) P, <1 



2) q, xq 



3) xp + xq, yp + ijq, p -\- q 



4) p + xq, {x' — 2y) {p + :^g). 



Nach unserem letzten Satze ist die erste transitiv; die drei übrigen 

 dagegen sind nach unserem Satze offenbar intransitiv. 

 ^. Beispiel: Die infinitesimalen Transformationen 



q, xq, x^q, x^q • • • x''—^q 



erzeugen eine r-gliedrige Gruppe: 



x^ == X, y^=y -\- a^-{- a^x -{■ a^x^ + • • + arX'-'^. 



Dieselbe ist intransitiv, wie man schon aus ihren infinitesimalen Trans- 

 formationen ersehen kann, da dieselben sich nur um eine Potenz von 

 X von der ersten, q, unterscheiden. 



n^eiuerair ^ ^^ hcbeu hcrvor, dass die Betrachtungen dieses Paragraphen, 



trlTJiiumr "^^^^^ ^o die der vorhergehenden, bei denen ja von der Gruppeneigen- 

 schaft TaT(,'^ T[ab) Gebrauch gemacht wurde, volle Gültigkeit be- 

 halten, wenn nur irgend welche r von einander unabhängige infini- 

 tesimale Transformationen ÜJ.. U^f vorgelegt sind, ohne dass vorausge- 

 setzt ivird, dass dieselben eine Gruppe erzeugen sollen. Wir wissen ja aus 

 Theorem 20, § 2 des 7. Kap., dass die oo'' ^ eingliedrigen Gruppen 

 HeiUif oo'' verschiedene endliche Transformationen erzeugen. Die- 

 selben führen den Punkt {x, y) allgemeiner Lage in alle Punkte einer 

 Fläche über oder nur in alle Punkte einer Curve, je nachdem die 

 infinitesimalen Transformationen HeiUif nicht sämtlich dieselben oder 

 doch sämtlich dieselben Bahncurven haben. 



Satz 6: Die Schar der oo'' endlichen Transformationen der Ebene, 



welche von oo''— ^ infinitesimalen Transformationen ^ Cj Ujf erzeugt wer- 



1 

 den, ivo Uif^E^^ h,;p -f- rjiq sei, ist transitiv oder intransitiv, d. h. sie führt 

 einen Punkt allgemeiner Lage in alle Punlcte eines Flächcnstückes oder 

 nur in die Punlde einer Curve über, je nachdem von den zweireihigen 

 Determinanten der Matrix 



I ^1 Vi 



I c. 



nicht alle oder aber alle identisch verschwinden. 



