v.ariante 

 von 



Primitivität und Imprimitivität, 205 



§ 3. Primitivität und Imprimitivität. 



Im § 1 und § 2 haben wir die Gruppen der Ebene in zwei grosse 

 Klassen eingereiht, in die der transitiven und die der intransitiven 

 Gruppen. 



Nunmehr werden wir die Klasse der transitiven Gruppen weiter- 

 hin in zwei Abteilungen zerfallen, in die der primitiven und die der 

 imprimitiven Gruppen. 



Wir wissen, dass eine transitive Gruppe keine Invariante besitzt, ^"y"' 

 d.h. dass es keine oo^ einzeln invarianten Curven bei einer derartigen '-^' <^''"-vei. 

 Gruppe giebt. Nun aber ist wohl denkbar, dass hier eine Schar von 

 oo^ Curven existiert von der Beschaffenheit, dass jede Transformation 

 der Gruppe alle Punkte irgend einer dieser oo^ Curven in alle Punkte 

 einer anderen dieser Curven überführt, mit anderen Worten, dass die 

 Gruppe cjo^ Curven unter einander transformiert, oder dass oo^ Curven 

 eine bei der Gruppe invariante Schar bilden. 



Wir nennen eine Gruppe der Ebene primitiv, sobald es keine bei.^''''V''K^ 



^ ■■■ ^ ' 1111 primitive 



ihr invariante Schar von oo^ Curven giebt, andernfalls heisst sie im- '''•upiieu. 

 primitiv. Hiernach sind alle intransitiven Gruppen zu den imprimi- 

 tiven zu rechnen, denn jede intransitive Gruppe besitzt ja eine In- 

 variante CO, und CO = Const. stellt eine invariante Curvenschar dar, 

 allerdings eine Schar von der besonderen Art, dass jede Curve der- 

 selben für sich invariant bleibt. Die transitiven Gruppen dagegen 

 können primitiv oder imprimitiv sein, wie die beiden folgenden Bei- 

 spiele zeigen. 



1. Beispiel: Die transitive zweigliedrige Gruppe Beispiele. 



Xi = x + a, y^==y -j-h 



ist imprimitiv, denn bei ihr bleibt (unter anderen Scharen) die Ge- 

 radenschar X = Const. invariant. In der That wird ja jede Gerade 

 ■X = c in eine Gerade Xi = c -\- a übergeführt. 



3. Beispiel: Die transitive sechsgliedrige Gruppe aller linearen 

 Transformationen 



Xi=a-j-bx -\- cy, y^=d-\- ex-\- fy 



ist primitiv. Sie enthält nämlich auch die Translationen x^= Const.^i'X. 

 y = Const^H welche doch nur eine solche Schar von oo^ Curven in sich 

 überführen können, die aus einer Curve durch alle Verschiebungen 

 hervorgehen. Ist diese eine Curve: 



(p{x,y) = 0, 

 so lautet die Schar 



