206 • Kapitel 8, § 3. 



(p{x -\- Const., y + Const.) = 0. 



Dies sind aber nur dann bloss oo^ Curven, wenn x und y in g) in 

 additiver Verbindung auftreten, wenn also die Gleichung der ursprüng- 

 lichen Curve auch so geschrieben werden kann: 



ccx -^ ßy -j- r = 0, 



d. h. wenn die Schar aus lauter parallelen Geraden 



ax -{- ßy = Const. 



besteht. Eine solche Parallelenschar wird nicht bei allen linearen 

 Transformationen in sich übergeführt. Es giebt demnach keine bei 

 der Gruppe invariante Schar von oo^ Curven; die Gruppe ist primitiv. 



Zur Ent- Um ZU entscheiden, ob allgemein eine transitive Gruppe Uif..U,f 



""dl'vim-^ primitiv oder imprimitiv ist, bedenken wir, dass die eventuell vorhan- 



].n,n. ivi .. ^^^^ ^^^ alsdann gesuchte invariante Schar von Curven in der Form 



£l{x, y) = Const. 



sich muss schreiben lassen. Die Function Sl muss fernerhin die Eigen- 

 schaft haben, dass vermöge einer beliebigen Transformation 



x^ = (p(x, y, «1 . . cfr), ?/i = ^{x, y, a, . . a,) 

 die Gruppe ß(a;,, ^,) = Const. sein muss, sobald ü(a;, y) = Const. ist, 



d. h. es muss 



Sl{(p{x, y, a^ .. ttr), ip{x, y, a^. . r;,)) 



eine Function von ß(a;, y) allein sein: W{^{x, y)) und zwar für 

 alle Werte der Veränderlichen x, y und der Parameter a^ ..«,.. 



Insbesondere muss dies gelten für die allgemeine Transformation 

 der Gruppe : 



x^ = x-\- li(a;, y)e^ -\ f- lr{x, y)er + • • , 



yi = y-\- Vii^, y)^! H h Vri^c, y)er 4- • • • 



Bilden wir H^x^, y^) für diese Werte und entwickeln wir nach Potenzen 

 von Cj . . Cr, so kommt die Forderung: 



il{x, «/) + (lißi H h IrCr) J^ + (^1^1 H h nrCr) J^ ^ " 



= Wi9.{x, y)). 



Diese Bedingung muss für alle Werte von e^ . . e^ erfüllt sein. Sie 

 muss also auch im speciellen für alle Glieder erster Ordnung in c^. . er 

 bestehen. Daraus folgt die Bedingung: 



{l^e, + • • + Ur) ^^ + (^.«. + • • + Vrer) jy = ^^ix, y)) , 

 die sofort in die r einzelnen zerfällt: 



